Optimizarea asistată a sistemelor automate

Introducere

În toate activităţile umane se manifestă continuu tendinţa (tendinţele) de perfecţionare, de alegere a unor soluţii optime. Atunci când în domeniu s-au produs acumulări cantitative ce permit adoptarea şi utilizarea unui suport matematic adecvat, atunci se trece la utilizarea acestor facilităţi.

În limbajul curent spunem că urmărim găsirea unei soluţii optime (din punct de vedere tehnic in cazul nostru) respectiv soluţionarea unei probleme de optimizare.

Ca disciplină de studiu, optimizarea îşi găseşte aplicaţii practic în toate domeniile de activitate umană.

Mai mult decât atât dacă urmărim procese din natură în care nu intervin perturbaţii majore determinate de activitatea umană se observă tendinţe de evoluţie a acestor sisteme spre stări si situaţii optime.

Revenind la gama activităţilor umane putem spune că utilizarea simplă a termenului de optimizare este adesea abuzivă.

Daca considerăm că sistemul optim este cel mai bun atunci ne aflăm in faţa unei utopii. În acest sens, optimul se defineşte în raport cu un criteriu de optimizare exprimat printr-un indice de calitate, functie obiectiv, functie cost, etc.

Pentru sistemele tehnice cea mai utilizata este denumirea de functie obiectiv care va fi utilizata in continuare, atunci cand vorbim de optimizare in caz general si cu atat mai mult cand ne referim la optimizarea sistemelor.

Functiile obiectiv se exprima de regula prin intermediul unor functii sau functionale ce depind de o serie de variabile:

• de intrare

• de stare

• de iesire

sau/ si de parametrii constructivi ai sistemului considerat.

Conform celor de mai sus optimizarea unui sistem, conform criteriului (functie obiectiv) adoptat consta in extremizarea functiei (determinarea maximului sau a minimului).

Determinare maximului (minimului) se poate face in conditiile existente sau inexistente a unor restrictii. In fapt sisteme fara restrictii nu exista in practica, dar exista situatii in care ele pot fi ignorate partial sau total cu scopul de a obtine solutii simple, usor implementabile dar care pot asigura functionarea in situatii apropiate de optimul contat.

Problemele de optimizare se refera asadar la extremizarea unei functii sau functionale.

Ele se pot aplica regimurilor stationare sau celor dinamice.

In ce priveste problemele de optimizare a regimurilor dinamice(optimizari dinamice) mai sunt cunoscute si sub numele de conducere(control) optimală.

In ce priveste optimizarea regimurilor stationare vorbim de optimizare stationara.

Nu este momentul sa ne referim la asemanarile si deosebirile,dintre ele insa facem precizarea că problemele de optimizari dinamice pot fi interpretate si solutionate ca probleme de optimizare stationara.

Pentru a ne familiarize cu problematica optimizarii stationare prezentam cateva probleme, cazuri de astfel de optimizari.

1. Planificarea productiei:

Se considera o firma ce produce trei tipuri de produse, in cantitatile . Pentru aceasta dispune de doua tipuri de resurse, in cantitatile .

Considerandu-se pretul unitar(castigul) al celor trei tipuri de produse sa se efectueze o planificare a productiei astfel încât să se asigure castigul maxim.

Formularea problemei consta in precizarea functiei obiectiv si evidentierea restrictiilor ce o limiteaza. Astfel functia obiectiv va fi castigul total adica:

(1)

Restrictiile vor fi determinate de relatiile dintre resursele necesare pentru realizarea si resursele disponibile din resursa b1.

Cunoscand resursele necesare pentru realizarea unitatilor de produs 1, 2 si 3 dupa cum urmeaza:

- cantitatile de resurse (din ) pentru realizarea unitatii de produs 1.

- cantitatile de produs (din ) pentru realizarea unitatii de produs 2.

- cantitatile de produs (din ) pentru realizarea unitatii de produs 3.

- cantitatile de produs (din ) pentru realizarea unitatii de produs 1.

- cantitatile de produs (din ) pentru realizarea unitatii de produs 2.

- cantitatile de produs (din ) pentru realizarea unitatii de produs 3.

Se pot formula restrictiilor problemei de optimizare descries de ecuatia (1) si avem:

(2)

(3)

Evident ca problema poate fi generalizata, optimizarea constand in gasirea maximului functiei:

cu restrictiile:

n fiind numarul total de produse, iar m numarul total de restrictii.

Evident ca problema poate fi extinsa respectiv reformulata pentru cazul benficiului, dar acesta constituie un exercitiu economic ce nu face obiectul prezentarii de fata.

Exemplu 1. Problema de fizica

Un corp cu masa m este deplasat pe o suprafata orizontala plana, cu viteza constanta sub actiunea unei forte F care face unghiul α cu sensul de deplasare.

Sa se determine unghiul pentru care forta are valoarea minima.

Formularea problemei de optimizare

Pentru deplasare cu viteza v=constant este necesar ca :

Forta de frecare va fi determinata de forta normală si coeficientul de frecare, conform relatiilor:

Aceasta este functia obiectiv, iar ca restrictie putem adopta relatia: