Sisteme

CAPITOLUL 1

Sisteme în reprezentare structurală

Acest capitol introductiv este consacrat obţinerii modelului structural, numit şi pe stare, sau intern al unui proces. Pe baza acestui model se furnizează cadrul definitoriu şi clasificator al sistemelor dinamice, liniare şi neliniare, variante şi invariante, netede şi discrete, mono şi multivariabile, prin prisma operaţiunilor de analiză şi sinteză a sistemelor automate. Legătura cu alte tipuri de modele: intrare-ieşire, parametrice şi neparametrice, reprezintă unul din obiectivele vizate. Întreaga abordare structurală a sistemelor automate este fundamentată pe cazul multivariabil, referit în lucrare ca MIMO (multi inputs-multi outputs), cu particularizări la cazurile SISO (single input-single output), MISO (multi inputs-single output) şi SIMO (single input-multi outputs).

1. 1. Modelul structural al unui proces

În general, un proces fizic

Figura 1. 1. 1.

este caracterizat în regim staţionar de o ecuaţie de bilanţ energetic sau de masă ce se poate exprima ca o egalitate între fluxurile de intrare, , şi de ieşire,

. (1. 1. 1)

Ecuaţia (1. 1. 1) caracterizează un regim de echilibru al procesului. Fluxul de intrare, , exprimă o intrare energetică sau de masă menită a satisface cererea consumatorului. Cum cererea consumatorului este variabilă, ecuaţia de bilanţ (1. 1. 1) devine

, (1. 1. 2)

ilustrând o stare de dezechilibru în interiorul procesului care generează un regim dinamic. În regim dinamic restabilirea bilanţului se face de către o serie de mărimi interne procesului care descriu fenomenele de acumulare, sau dezacumulare după cum Se consideră aceste mărimi (numite mărimi de stare) grupate într-un vector şi care satisface ecuaţia diferenţială

, (1. 1. 3)

cu soluţia

. (1. 1. 4)

Cum cvasitotalitatea proceselor sunt cu autoechilibrare (aceasta defineşte proprietatea de stabilitate), ecuaţia diferenţială (1. 1. 3) trebuie să conţină, în membrul drept, un termen suplimentar

, (1. 1. 5)

unde şi are soluţia

. (1. 1. 6)

Primul termen corespunde regimului staţionar, iar al doilea, celui tranzitoriu, acesta din urmă se anulează asimptotic. Spre exemplificare se poate oferi un circuit serie rezistenţă-bobină, al cărui curent la aplicarea unei tensiuni la borne satisface ecuaţia diferenţială

, (1. 1. 7)

pentru care Prin generalizare la un vector de mărimi de stare, în (1. 1. 5), avem o matrice

, (1. 1. 8)

iar proprietatea de autoechilibrare se manifestă prin apartenenţa valorilor proprii la semiplanul stâng al planului complex ( ). Pentru circuitul R-L-C serie din figura 1. 1. 2,

Figura 1. 1. 2.

curentul verifică ecuaţia integro-diferenţială atunci când la borne se aplică o treaptă de tensiune u

. (1. 1. 9)

Dacă se alege vectorul variabilelor de stare

, (1. 1. 10)

atunci matricea devine

, (1. 1. 11)

cu (T fiind numită constantă de timp) şi ( fiind numit coeficient de amortizare).

Pentru dinamica deplasării căruciorului de masă m când i se aplică o forţă F, legat de un perete rigid prin intermediul unui resort de constantă elastică k şi element hidraulic cu coeficientul de frecare vâscoasă, f, ca în figura 1. 1. 3,

Figura 1. 1. 3

deplasarea y satisface ecuaţia diferenţială

. (1. 1. 12)

Alegând vectorul variabilelor de stare

, (1. 1. 13)

se obţine matricea A cu expresia de mai sus dar cu constanta de timp

, (1. 1. 14)

şi factorul de amortizare satisfăcând expresia