Algebra Relațională

Algebra relaţională deseori e concepută ca un limbaj abstract de formulare a interpelărilor (cererilor) sau ca o colecţie de operaţii pe relaţii având drept operanzi una sau mai multe relaţii şi producând ca rezultat altă relaţie. Operaţiile algebrei relaţionale pot fi divizate în două grupuri: operaţiile tradiţionale pe mulţimi (vezi fig.2.1) ce consideră relaţiile ca mulţimi de tupluri şi operaţiile relaţionale native (fig.2.2).

Denumire Simbol

Uniunea

Intersecţia

Diferenţa

Produsul (cartezian)

Fig. 2.1. Operaţiile tradiţionale pe mulţimi

Denumire Simbol

Proiecţia

Selecţia

Joncţiunea

- joncţiunea

Semijoncţiunea

Diviziunea

Fig.2.2. Operaţiile relaţionale native

2.1. Operaţiile tradiţionale

2.1.1. Scheme relaţionale compatibile

Operaţiile binare asupra relaţiilor: uniunea, intersecţia şi diferenţa, necesită ca operanzii (relaţiile) să fie definiţi pe scheme compatibile. Compatibilitatea schemelor se defineşte în felul următor.

Definiţia 2.1. Vom spune că două relaţii r(R) şi s(S) sunt compatibile (sau au scheme compatibile), dacă între R şi S există o corespondenţă biunivocă f: pentru orice atribut A din R, există un atribut B în S încât dom(A)=dom(B), B=f(A) şi A=f-1(B), unde f-1 este funcţia inversă funcţiei f.

Remarcă. Două relaţii cu aceeaşi schemă sunt compatibile.

vânzări FIRMĂ ARTICOL articole ARTICOL CULOARE

f1 a1 a1 c1

f1 a2 a1 c2

f2 a1 a1 c3

f3 a1 a3 c2

a2 c1

furnizori ARTICOL FURNIZOR

a1 f1

a1 f3

a2 f1

a3 f3

Fig.2.3.

Exemplul 2.1. Fie baza de date din fig.2.3 ce constă din trei relaţii: vânzări(FIRMĂ ARTICOL), articole(ARTICOL CULOARE), furnizori(ARTICOL FURNIZOR). Schemele relaţiilor vânzări şi articole nu sunt compatibile, în timp ce schemele relaţiilor vânzări şi furnizori sunt compatibile. Ultimele relaţii sunt definite pe atribute ce primesc valori din aceleaşi domenii. Valorile active sunt totuşi diferite, fiindcă un furnizor poate să nu fie firmă şi viceversa.

2.1.2. Uniunea

Uniunea a două relaţii presupune că schemele lor sunt compatibile.

r A B C s A B C

a1 b1 c1 a1 b1 c1

a1 b2 c3 a1 b1 c2

a2 b1 c2 a1 b2 c3

a3 b2 c3

Fig.2.4. Relaţiile r(A B C) şi s(A B C)

q A B C

a1 b1 c1

a1 b1 c2

a1 b2 c3

a2 b1 c2

a3 b2 c3

Fig.2.5. Relaţia q = r  s

Definiţia 2.2. Uniunea a două relaţii compatibile r(R) şi s(S), notată cu r  s, e o relaţie definită pe schema R sau S şi constă din tuplurile ce aparţin relaţiilor r sau s, adică

r  s  t | t  r ⋁ t  s.

Exemplul 2.2. Fie relaţiile r(A B C) şi s(A B C) din fig.2.4. Relaţia din fig.2.5 este q = r  s.

Operaţia uniunea are două proprietăţi. Ea e comutativă, adică r  s = s  r. Ea este şi asociativă, adică (r  s)  q = r(s  q) pentru relaţiile mutual compatibile r, s şi q. Prin urmare, în expresiile ce conţin o cascadă de operaţii uniunea, parantezele pot fi omise fără a provoca ambiguităţi. Deci, dacă avem k relaţii compatibile r1,r2,…,rk, uniunea acestor relaţii poate fi notată cu (r1, r2,…, rk).

Operaţia uniunea are două cazuri speciale. Pentru orice relaţie r(R) au loc: r   = r şi r  s = s, dacă r  s.

2.1.3. Intersecţia

Similar uniunii, intersecţia a două relaţii cere ca operanzii să fie relaţii cu scheme compatibile.