Algoritmi de Simulare

I.1 Analiza proceselor prin metoda elementului finit

I.1.1 Tipuri de probleme

Sub aspectul continuităţii:

Statice Dinamice

• Deşi pot fi dependente de timp, efectele inerţiale sunt ignorate sau pot fi neglijate;

• Ele pot fi strict statice sau numai cvasistatice, iar timpul nu trebuie considerat în mod explicit. • dependenţa de timp este considerată în mod explicit, deoarece efectele inerţiale implică derivate în timp.

Problemele statice se pot clasifica în:

Lineare Nelineare

• Aliura răspunsului este de tip linear, în sensul principilului cauză şi efect. • Probleme care nu respectă condiţia de linearitate.

I.1.2 Aplicabilitatea generală a metodei

Metoda a fost utilizată pe larg în domeniul structurilor mecanice, însă poate fi utilizată cu succes în multe alte domenii inginereşti, precum conducţia termică, curgerea fluidelor, în analiza câmpurilor electrice şi magnetice ş.a. Generalizarea aplicabilităţii metodei elementului finit în problemele inginereşti poate fi remarcată din similitudinea care există între diferitele tipuri de probleme inginereşti, ca de exemplu, pentru cazul tratării unidimensionale a fenomenelor fizice:

Transferul termic Curgerea unui fluid Efortul mecanic axial

Ecuaţia generală a căldurii dată de Fourier este de forma:

Dacă sistemul nu dispune de generare internă de căldură şi dacă sistemul este în stare de echilibru termic staţionar:

Pornind de la ecuaţia bilanţului unei curgeri staţionare cu o viteză:

rezultă că:

Într-o bară solidă forţa aplicată, în funcţie de deplasarea axială u şi de modulul lui Young:

Dacă:

Prin compararea celor trei ecuaţii, rezultă că o procedură de calcul aplicată uneia dintre ele este identică şi pentru celelalte.

I.1.3 Metode de discretizare

Un model matematic continuu poate fi discretizat spaţial, respectiv de trecere la un model discret cu un număr finit de grade de libertate, prin următoarele metode:

• Element finit (dominante în probleme lineare şi neutilizată în probleme nelineare)

• Element de margine sau de frontieră

• Diferenţă finită (metodă abandonată în cazul solidelor, dar rămâne în cazul mecanicii fluidelor)

• Volum finit (dedicată legilor de conservare şi în probleme din mecanica fluidelor)

Conceptul de element finit este parţial explicat printr-o procedură istorică utilizată de Arhimede, respectiv de determinare a perimetrului unui cerc L, de diametru d. Cercul văzut ca un obiect matematic sursă este înlocuit printr-un poligon, respectiv se realizează o aproximare discretă a cercului

Problema lui Arhimede pentru calculul lungimii unui cerc

Înscriind în cerc un poligon regulat cu n laturi şi definind intersecţia laturilor polinomului cu cercul ca noduri iar laturile polinomului ca elemente, atunci un element generic generalizat i-j (dezasamblat, conţinând un element şi două noduri de discontinuitate) are lungimea de:

respectiv, determinare independentă de celalte elemente, numit suport local al metodei elementului finit. Deoarece elementele au aceiaşi lungime:

n n

1 0,000000000000000

2 2,000000000000000

4 2,828427124746190

8 3,061467458920718

16 3,121445152258052

32 3,136548490545939

64 3,140331156954753

128 3,141277250932773

256 3,1415138011144301

I.1.4 Metoda elementului finit sub aspect fizic

Procedeele de orice natură, care utilizează metoda elementului finit implică realizarea unei succesiuni de paşi. Acestă succesiune de paşi are două configuraţii, în funcţie de mediul în care este utilizată metoda elementului finit şi de principalele obiective.

Principala utilizare naturală a metodei elementului finit este aceea de simulare a unui sistem fizic, fapt ce impune realizarea unui model, de unde şi denumirea de simulare pe bază de model. Un sistem fizic reprezintă sursa simulării unui proces, în timp ce un model matematic ce se impune creat este în general nerelevant. Discretizarea cu ajutorul metodei elementului finit se poate realiza şi ajusta, în mod simplu pe baza măsurătorilor, fără a face uz de modelul matematic.

Modelarea şi simularea fizică prin metoda elementului finit

Conceptul de eroare se impune în metoda elementului finit prin două căi:

De verificare De validare

- Reprezintă eroarea de rezolvare prin metode numerice a modelului discret şi nu este în general importantă;

- Această eroare este generată de înlocuirea modelului real cu un model matematic ideal, utilizând metode de discretizare;

- Chiar dacă ar exista modele matematice, în cele mai relevante probleme fizice se apelează la modele discrete. - Compară soluţia numerică prin calculul erorii de simulare care combină erorile de modelare şi de calcul;

- Deoarece eroarea de calcul este în general nesemnificativă, eroarea de simulare poate fi identificată cu eroarea de modelare.

O modalitate de a ajusta modelul numeric, în aşa fel încât să corespundă cât mai bine modelului fizic real, poartă denumirea de model reactualizat. În măsura în care condiţiile de minimizare sunt în general nelineare, chiar şi în cazul în care modelul este linear, reactualizarea procesului se realizează în mod inerent prin proceduri iterative.