Calcul numeric

Curs
9/10 (1 vot)
Domeniu: Calculatoare
Conține 5 fișiere: pdf
Pagini : 76 în total
Cuvinte : 16626
Mărime: 539.62KB (arhivat)
Cost: Gratis

Extras din document

Fie a ?R =i a* ?R un num[r ,,apropiat" de a. Num[rul a se nume=te valoare exact[ iar a* ?R ,

aproximaie a lui a. }n aceast[ situaie vom nota: a ? a*

Se nume=te eroare, m[rimea ?a = a - a*

Se nume=te eroare absolut[ m[rimea:

? = ?a = a - a* (1.1)

Deoarece valoarea exact[ ,,a" este ]n general necunoscut[, eroarea absolut[ este =i ea ]n general

necunoscut[.

Se nume=te margine superioar[ a erorii absolute orice num[r R a ? ? care majoreaz[ eroarea

absolut[:

a

? = a - a* <= ? (1.2)

Avem evident:

a

*

a

a* - ? <= a <= a + ? (1.3)

Dac[ a?R , a != 0 , se nume=te eroare relativ[ m[rimea:

a

a a

a

- *

=

?

? = (1.4)

Se nume=te margine superioar[ a erorii relative orice num[r R a ? ? care verific[ relaia:

a ? <= ? (1.5)

Avem evident:

( ) a

a = a* 1+- ? (1.6)

Dac[ se cunoa=te o margine superioar[ a erorii absolute a ? atunci:

a

a

a a - ?

?

? = Analog, dac[ se

cunoa=te a ? , atunci:

a

a

a 1

a

- ?

?

? =

1.2. Surse principale de erori

Erorile care afecteaz[ un calcul numeric pot fi clasificate ]n cinci categorii.

Erori ale metodei

Studiul unui fenomen real se face pe baza unui model matematic asociat fenomenului. }n stabilirea

modelului matematic se fac anumite aproxim[ri sau idealiz[ri ale fenomenului care vor genera erori

ale metodei.

Erori de trunchiere

Apar atunci c`nd modelul matematic conine procese de trecere la limit[ sau calculul sumelor unor

serii. Deoarece un algoritm trebuie s[ conin[ un num[r finit de pa=i, calculul sumei unei serii, de

exemplu, se ]nlocuie=te cu suma unui num[r finit de termeni, gener`nd astfel o eroare de trunchiere.

Capitolul 1. Erori. Numere aproximative

1.2

Erori iniiale

Sunt datorate prezenei ]n modelul matematic a unor parametri care nu pot fi estimai exact. Cazul

tipic ]l constituie majoritatea constantele fizice.

Erori de rotunjire

Apar din cauza bazelor de numeraie diferite, utilizate ]n reprezentarea extern[ respectiv intern[ a

datelor. Reprezentarea extern[ utilizeaz[ ]n general baza 10. Reprezentarea intern[ a datelor este

]ntotdeauna ]n baza 2. Conversia din format extern ]n format intern conduce la apariia erorilor de

rotunjire.

Erori propagate

Apar ]n rezultatele operaiilor cu operanzi numere aproximative. Este evident c[, ]ntr-un calcul cu

numere aproximative, erorile iniiale ale operanzilor se propag[ ]n rezultat.

1.3. Reprezentarea numerelor aproximative

Dac[ a ?R , reprezentarea sa ]n baza 10 este de forma:

a 10 10 10m n 1

m n 1

m 1

m 1

m

m = ? + ? + + ? - + +

- +

-

- (1.7)

unde {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} i ? ? cu i?Z, sunt cifrele num[rului a.

0 m ? != se nume=te cifra rangului superior.

O aproximaie a* a num[rului ,,a" p[streaz[ un num[r finit de cifre din reprezentarea (1.7):

m n 1

m n 1

m 1

m 1

m

m

a* 10 10 10 - +

- +

-

- = ? + ? + + ? , m?Z, n?N (1.8)

m-n+1 ? se nume=te cifra rangului inferior.

Se nume=te cifr[ semnificativ[:

- orice cifr[ diferit[ de zero;

- un zero ]ncadrat de cifre semnificative;

- orice zero p[strat.

Toate cifrele reprezent[rii (1.8) se numesc cifre exacte (]n sens strict) dac[ eroarea absolut[ a

aproxim[rii nu dep[=e=te jum[tate din rangul inferior al aproximaiei:

* 10m n 1

2

? = a - a <= 1 ? - + (1.9)

Cifrele reprezent[rii (1.8) se numesc exacte ]n sens larg dac[:

? = a - a* <= 10m-n+1 (1.10)

1.4. Rotunjirea numerelor aproximative

Rotunjirea const[ ]n reducerea num[rului de cifre semnificative din reprezentarea zecimal[ a unui

num[r exact sau aproximativ. Pentru a se obine o eroare de rotunjire minim[, rotunjirea se face pe

baza urm[toarelor reguli:

- dac[ prima cifr[ eliminat[ este mai mic[ dec`t 5, cifrele p[strate r[m`n nemodificate;

- dac[ prima cifr[ eliminat[ este mai mare dec`t 5, se adug[ o unitate la cifra rangului inferior;

- dac[ prima cifr[ eliminat[ este 5 =i printre celelalte cifre eliminate exist[ cifre nenule, se adug[ o

unitate la cifra rangului inferior;

- dac[ prima cifr[ eliminat[ este 5 iar restul sunt nule, atunci (regula cifrei pare):

- dac[ ultima cifr[ p[strat[ este par[, cifrele p[strate r[m`n nemodificate;

- dac[ ultima cifr[ p[strat[ este impar[, se adug[ o unitate la cifra rangului inferior.

Capitolul 1. Erori. Numere aproximative

1.3

Leg[tura ]ntre eroarea relativ[ =i num[rul de ciftre exacte

Se poate demonstra c[ dac[ toate cifrele reprezent[rii (1.8) sunt exacte, atunci:

m

* 1 n 10

a

a a

?

<=

-

? =

-

(1.11)

Pentru n >= 2 , relaia anterioar[ devine:

m

* 1 n

2

10

a

a a

??

<=

-

? =

-

(1.12)

Dac[ cifrele sunt exacte ]n sens larg, estim[rile din relaiile (1.11) =i (1.12) se dubleaz[.

1.5. Erori propagate

}n acest paragraf sunt prezentate erorile propagate ]n cazul unor operaii elementare.

1.5.1. Eroarea unei sume

Preview document

Calcul numeric - Pagina 1
Calcul numeric - Pagina 2
Calcul numeric - Pagina 3
Calcul numeric - Pagina 4
Calcul numeric - Pagina 5
Calcul numeric - Pagina 6
Calcul numeric - Pagina 7
Calcul numeric - Pagina 8
Calcul numeric - Pagina 9
Calcul numeric - Pagina 10
Calcul numeric - Pagina 11
Calcul numeric - Pagina 12
Calcul numeric - Pagina 13
Calcul numeric - Pagina 14
Calcul numeric - Pagina 15
Calcul numeric - Pagina 16
Calcul numeric - Pagina 17
Calcul numeric - Pagina 18
Calcul numeric - Pagina 19
Calcul numeric - Pagina 20
Calcul numeric - Pagina 21
Calcul numeric - Pagina 22
Calcul numeric - Pagina 23
Calcul numeric - Pagina 24
Calcul numeric - Pagina 25
Calcul numeric - Pagina 26
Calcul numeric - Pagina 27
Calcul numeric - Pagina 28
Calcul numeric - Pagina 29
Calcul numeric - Pagina 30
Calcul numeric - Pagina 31
Calcul numeric - Pagina 32
Calcul numeric - Pagina 33
Calcul numeric - Pagina 34
Calcul numeric - Pagina 35
Calcul numeric - Pagina 36
Calcul numeric - Pagina 37
Calcul numeric - Pagina 38
Calcul numeric - Pagina 39
Calcul numeric - Pagina 40
Calcul numeric - Pagina 41
Calcul numeric - Pagina 42
Calcul numeric - Pagina 43
Calcul numeric - Pagina 44
Calcul numeric - Pagina 45
Calcul numeric - Pagina 46
Calcul numeric - Pagina 47
Calcul numeric - Pagina 48
Calcul numeric - Pagina 49
Calcul numeric - Pagina 50
Calcul numeric - Pagina 51
Calcul numeric - Pagina 52
Calcul numeric - Pagina 53
Calcul numeric - Pagina 54
Calcul numeric - Pagina 55
Calcul numeric - Pagina 56
Calcul numeric - Pagina 57
Calcul numeric - Pagina 58
Calcul numeric - Pagina 59
Calcul numeric - Pagina 60
Calcul numeric - Pagina 61
Calcul numeric - Pagina 62
Calcul numeric - Pagina 63
Calcul numeric - Pagina 64
Calcul numeric - Pagina 65
Calcul numeric - Pagina 66
Calcul numeric - Pagina 67
Calcul numeric - Pagina 68
Calcul numeric - Pagina 69
Calcul numeric - Pagina 70
Calcul numeric - Pagina 71
Calcul numeric - Pagina 72
Calcul numeric - Pagina 73
Calcul numeric - Pagina 74
Calcul numeric - Pagina 75
Calcul numeric - Pagina 76

Conținut arhivă zip

  • Calcul numeric
    • Cap1.pdf
    • Cap2.pdf
    • Cap3.pdf
    • Cap4.pdf
    • MetNum.pdf

Alții au mai descărcat și

Medii de Programare Vizuala - Visual Basic

CURS 1 Microsoft Visual Basic reprezintă cel mai rapid şi mai uşor mod de a crea aplicaţii Windows. Indiferent dacă sunteţi un profesionist cu...

Metode Numerice

Tipuri de erori: - Erori de problema care apar la trecerea de la modelul fizic la cel matematic - Erori de metoda introduse prin discretizarea...

Programare HTML și XML

CAPITOLUL I NOTIUNI GENERALE [13, 28, 78, 77] 1.1 INTERNET Internet-ul, sau reteaua mondială de calculatotore, reprezintă un puternic instrument...

Microprocesoare - Sisteme cu Microprocesoare

1.1 Noţiuni generale Orice calculator, indiferent de mărime, incorporează trei componente de bază: - unitatea centrala de prelucrare (CPU),...

Programarea Calculatoarelor și Limbaje de Programare

Introducere Lucrarea de faţă îşi propune să acopere, nevoile programatorului de aplicaţie inginerească care, spre deosebire de informaticianul de...

Clase

1. Programare procedurala –Programare orientata pe obiecte. Limbajul C, ca si Pascal, utilizeaza modelul programarii structurate procedurale, care...

Cursuri MATLAB

I. MATLAB – NOTIUNI DE BAZA I.1 Introducere MATLAB este un mediu de programare bazat pe operatii asupra tablourilor (vectori si matrici), de...

Limbajul HTML

Limbajul HTML include o diversitate de marcatori (tag-uri sau etichete) sub forma : <Nume_Tag>…….</Nume_Tag> TAG-ul este un identificator care...

Ai nevoie de altceva?