Criptografie și securitatea informației

1.1 Noţiuni de teoria numerelor

1.1.1 Numere prime

Fiind date două numere naturale m şi n, spunem că m divide pe n, sau că n

este multiplu al lui m, dacă există un număr natural k astfel încât: n=m⋅k. În

acest caz se scrie m/n sau m:n. Relaţia de divizibilitate pe ! o vom nota cu | .

Pentru un număr n∈! , un numărm∈! se numeşte divizor al lui n dacă

m/n. Deoarece n=1⋅n şi n=n⋅1, avem 1/n şi n/n, deci 1şi n sunt divizori ai lui

n pentru ∀n∈!. Numerele 1 şi n se numesc divizori improprii ai lui n, iar orice

alt divizor al lui n se va numi divizor propriu. Orice număr natural m este

divizor al lui 0, deci 0=m⋅0 şi m/0.

Cu excepţia numărului 1 care are un singur divizor, orice număr natural

n >1 are cel puţin doi divizori distincţi, aceştia fiind 1 şi n. Un număr natural

n >1 care are numai doi divizori se numeşte număr prim.

Proprietăţi

1) Relaţia de divizibilitate este o relaţie de ordine pe !.

2) Pentru ∀n∈! avem n/n deci relaţia este reflexivă.

3) Dacă m şi n sunt două numere naturale şi avem m/n şi n/m, putem scrie:

n=k1mşim=k2n, undek1,k2∈!

deci n=k1(k2n)=k1k2n=n(k1k2), ceea ce arată că n =0 sau k1k2 =1

Dacă n =0, atunci m=k2n=0=n. Dacă k1k2 =1, atunci se demonstrează

că k1=k2=1, deci m=n. Putem spune că relaţia este antisimetrică.

4) Dacă m, n si p sunt numere naturale şi avem: m/n şi n/p atunci:

n=k1mşip=k2n=k1k2m

Deci m/p şi relaţia / este tranzitivă.

Definiţie. Un număr natural p >1 este număr prim dacă şi numai dacă

pentru orice două numere naturale m şi n avem:

p=m⋅n⇒m=1saun=1.

Bazele matematice ale sistemelor de secretizare

Numerele prime sunt foarte importante în primul rând datorită faptului că

orice număr natural nenul se scrie în mod unic ca un produs de numere prime.

Acest rezultat, cunoscut sub numele de teorema fundamentală a aritmeticii, a

devenit, prin generalizările care i s-au dat instrumentul de bază în multe capitole

ale teoriei algebrice a numerelor şi ale algebrei abstracte. Numerele prime sunt

de asemenea importante deoarece multe teoreme despre numere prime sunt uşor

de formulat, dar foarte greu de demonstrat. Unele din aceste „teoreme” se

dovedesc adevărate în toate cazurile accesibile calculului, prin mijloacele

cunoscute până în prezent, dar aceste mijloace se dovedesc insuficiente pentru a

se verifica valabilitatea generala a „teoremei” respective.

Una din primele probleme care s-a pus este dacă mulţimea numerelor

prime este infinită sau nu. Răspunsul este dat de teorema lui Euclid.

Teorema: Mulţimea numerelor prime este infinită.

Demonstraţia se face foarte simplu dacă, prin reducere la absurd

presupunem că mulţimea numerelor prime este finită. Fie P={p1,p2 ,...,pn}

această mulţime:

Considerăm numărul natural: N=p1⋅p2...pn+1. Deoarece ! >1, există

un număr p astfel încât p /!. Deoarece p∈P, rezultă p/p1p2...pn şi deci

p/N−(p1p2...pn)=1. Aşadar p/1, ceea ce contrazice faptul că p este număr

prim.

Legat de faptul că mulţimea numerelor prime este infinită, s-a pus

problema distribuţiei acestor numere. Notând cu Π(x) numărul numerelor

prime mai mici decât x, se pune problema găsirii unei formule de calcul pentru

Π(x). Mai mulţi matematicieni au găsit experimental că: Π(x) ≅

ln

x

x

, însă

abia la sfârşitului secolului trecut J. Hadammar şi Ch. J. de la Valle Paussin au

demonstrat că:

lim

x→∞

( )

ln

x

x

x

Π =1

S-a pus şi problema dacă anumite mulţimi de numere prime, cu anumite

proprietari sunt infinite sau nu. Astfel, numerele prime de forma 22 1 n + se

numesc numere prime Fermat iar numerele prime de forma 2p −1, unde p este

număr prim, se numesc numere prime Mersenne. Nu se cunoaşte dacă mulţimea

numerelor prime Fermat sau Mersenne este finită sau nu.

Teoremă. Dacă a şi n sunt numere naturale, a≥1 şi n≥2 astfel încât an −1

este număr prim, atunci a = 2 şi n este număr prim.