Extras din document
Metode numerice pentru ecua¸tii diferen¸tiale
Studiul ecua¸tiilor diferen¸tiale este o parte a matematicii, care face obiectul a numeroase
cercetØari ¸si care continuØa sØa rØamânØa în actualitate prin interesul particular pe
care-l reprezintØa pentru alte discipline, ca mecanica, astronomia, fizica si, mai recent,
chimia, biologia, ¸stiin¸te în care modelarea poate conduce la probleme matematice ce
implicØa ecua¸tii diferen¸tiale. De multe ori, chiar dacØa rezultatele matematice ne permit
sØa demostrØam existen¸ta ¸si unicitatea solu¸tiei problemei la care se ajunge, solu¸tia
analiticØa nu poate fi ob¸tinutØa, ¸si atunci se impune gØasirea unei solu¸tii aproximative a
problemei printr-o metodØa de rezolvare numericØa a problemei.
În acest capitol ne propunem sØa dØam o descriere a principalelor metode de rezolvare
numericØa a problemelor Cauchy (a problemelor cu condi¸tii ini¸tiale). Problema Cauchy
se define¸ste astfel: datØa fiind aplica¸tia f : D R × Rm Rm, care define¸ste ecua¸tia
diferen¸tialØa:
y(t) = f(t, y(t)) (1)
¸si punctul ini¸tial (t0, y0), sØa se determine o solu¸tie y : I R Rm a ecua¸tiei
diferen¸tiale (1) ¸si care verificØa condi¸tia ini¸tialØa:
y(t0) = y0. (2)
Metodele pe care le vom prezenta în acest capitol se bazeazØa pe aproximarea solu¸tiei
problemei (1)-(2), definitØa pe un interval [t0, t0 + T], printr-un ¸sir finit de valori (yn)
care aproximeazØa solu¸tia y(t) în nodurile tn = t0+nh , n {1,N} , adicØa yn y(tn) . Se
considerØa cØa N = T
h , unde h este pasul, adicØa distan¸ta dintre douØa valori consecutive
ale variabilei t, pentru care se face aproximarea.
Se cunosc douØa clase importante de metode numerice pentru rezolvarea problemei
Cauchy:
1
1. Metode într-un pas (metode directe) sunt metodele în care yn+1 se calculeaz
Øa printr-o rela¸tie de recuren¸tØa în func¸tie doar de yn, calculat anterior. În aceastØa
categorie intrØa metodele Taylor, Euler, Euler îmbunØatØa¸titØa, Euler modificatØa, Runge-
Kutta.
2. Metode în mai mul¸ti pa¸si (metode indirecte) sunt metodele în care yn+1 se
calculeazØa printr-o rela¸tie de recuren¸tØa în func¸tie de valorile precedente yn, yn1, . . . , ynr+1 .
În aceastØa categorie intrØametodele Adams-Bashforth, Adams-Moulton, metoda predictorcorector,
metoda diferen¸tialei retrograde.
Preview document
Conținut arhivă zip
- Ecuatii Diferentiale.pdf