Ecuatii Diferentiale

Metode numerice pentru ecua¸tii diferen¸tiale

Studiul ecua¸tiilor diferen¸tiale este o parte a matematicii, care face obiectul a numeroase

cercetØari ¸si care continuØa sØa rØamânØa în actualitate prin interesul particular pe

care-l reprezintØa pentru alte discipline, ca mecanica, astronomia, fizica si, mai recent,

chimia, biologia, ¸stiin¸te în care modelarea poate conduce la probleme matematice ce

implicØa ecua¸tii diferen¸tiale. De multe ori, chiar dacØa rezultatele matematice ne permit

sØa demostrØam existen¸ta ¸si unicitatea solu¸tiei problemei la care se ajunge, solu¸tia

analiticØa nu poate fi ob¸tinutØa, ¸si atunci se impune gØasirea unei solu¸tii aproximative a

problemei printr-o metodØa de rezolvare numericØa a problemei.

În acest capitol ne propunem sØa dØam o descriere a principalelor metode de rezolvare

numericØa a problemelor Cauchy (a problemelor cu condi¸tii ini¸tiale). Problema Cauchy

se define¸ste astfel: datØa fiind aplica¸tia f : D
R × Rm  Rm, care define¸ste ecua¸tia

diferen¸tialØa:

y
(t) = f(t, y(t)) (1)

¸si punctul ini¸tial (t0, y0), sØa se determine o solu¸tie y : I
R  Rm a ecua¸tiei

diferen¸tiale (1) ¸si care verificØa condi¸tia ini¸tialØa:

y(t0) = y0. (2)

Metodele pe care le vom prezenta în acest capitol se bazeazØa pe aproximarea solu¸tiei

problemei (1)-(2), definitØa pe un interval [t0, t0 + T], printr-un ¸sir finit de valori (yn)

care aproximeazØa solu¸tia y(t) în nodurile tn = t0+nh , n  {1,N} , adicØa yn  y(tn) . Se

considerØa cØa N =
T

h , unde h este pasul, adicØa distan¸ta dintre douØa valori consecutive

ale variabilei t, pentru care se face aproximarea.

Se cunosc douØa clase importante de metode numerice pentru rezolvarea problemei

Cauchy:

1

1. Metode într-un pas (metode directe) sunt metodele în care yn+1 se calculeaz

Øa printr-o rela¸tie de recuren¸tØa în func¸tie doar de yn, calculat anterior. În aceastØa

categorie intrØa metodele Taylor, Euler, Euler îmbunØatØa¸titØa, Euler modificatØa, Runge-

Kutta.

2. Metode în mai mul¸ti pa¸si (metode indirecte) sunt metodele în care yn+1 se

calculeazØa printr-o rela¸tie de recuren¸tØa în func¸tie de valorile precedente yn, yn1, . . . , ynr+1 .

În aceastØa categorie intrØametodele Adams-Bashforth, Adams-Moulton, metoda predictorcorector,

metoda diferen¸tialei retrograde.