Metode Numerice

Obiective curs

- Crearea, analiza şi implementarea de algoritmi pentru rezolvarea problemelor din matematica continuă

- Analiza complexităţii, analiza şi propagarea erorilor, condiţionarea problemelor şi stabilitatea numerică a algoritmilor problemelor numerice

- Prezentarea metodelor numerice clasice şi a celor moderne de rezolvare a problemelor ştiinţifice şi inginereşti

- Alegerea celor mai potrivite metode numerice pentru o problemă dată

Conţinut curs

• Reprezentare în virgulă mobilă. Standardul IEEE 754 pentru numere reale. Condiţionarea problemelor şi stabilitatea numerică a algoritmilor.

• Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare prin metode gaussiene. Pivotare parţială şi totală. Factorizare LU.

• Propagarea erorilor în rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare.

• Metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare

• Interpolare polinomială. Polinom de interpolare Lagrange. Diferenţe divizate. Polinom Newton. Eroarea interpolării.

• Interpolare cu funcţii spline. Interpolare trigonometrică.

• Aproximare uniformă. Polinoame Cebâşev. Algoritmii lui Remes.

• Aproximare continuă şi discretă în sensul celor mai mici pătrate.

• Rezolvarea sistemelor în sensul celor mai mici pătrate. Factorizare QR.

• Metodele Householder, Givens, Gram-Schmidt

• Integrare numerică. Metode Newton-Cotes. Metoda Romberg. Integrare gaussiană. Polinoame ortogonale. Integrale improprii.

• Integrarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare. Metode Runge-Kutta.

• Metode multipas explicite şi implicite. Predictor-corector.

• Convergenţa metodelor multipas

• Valori proprii şi vectori proprii. Metodele puterii

• Algoritmul QR cu deplasare explicită. Descompunerea valorilor singulare

2

Aplicaţii ale calculului numeric

1. Determinarea curenţilor într-un circuitul electric în regim staţionar:

R1=2

1 2

R3=4 R2=3

I1 I2

I3

E E2=18 1=10

conduce prin aplicarea legilor lui Kirchhoff, la un system de ecuaţii liniare:

2. Modelul Leontieff consideră economia formată din n sectoare independente: S1,S2,…, Sn. Fiecare

sector consumă bunuri produse de celelalte sectoare (inclusive cele produse de el însuşi). Introducem

notaţiile:

mij = numărul de unităţi produse de sectorul Si necesare sectorului Sj să producă o unitate

pi = nivelul producţiei sectorului Si

mijpj = numărul unităţilor produse de Si şi consumate de Sj

Numărul total de unităţi produs de Si este: p1mi1+p2mi2+…+pnmin

Într-un system închis (autarhic) dacă economia este echilibrată, tot ce se produce trebuie consumat, adică:

Adică sistemul: M.p = p sau (I-M).p=0, care pentru soluţii nenule, conduce la o problemă de valori

şi vectori proprii.

Într-un model deschis de economie, unele sectoare îşi satisfac unele cerinţe din exterior, adică:

pi = mi1p1+mi2p2+…+minpn+di

care conduce la sistemul liniar de ecuaţii:

p = M.p + d

cu soluţia:

p = (I-M)-1.d

3

3. Coeficienţii care apar în reacţiile chimice se obţin aplicând legea conservării masei ecuaţiei de echilibru

chimic. Astfel arderea etanului:

xC2H6 + yO2 → zCO2 + tH2O

dă sistemul de ecuaţii liniare:

care are o soluţie întreagă:

x=2, y=7, z= 4, t=6.

deci ecuaţia chimică este:

2C2H6 + 7O2  4CO2 + 6H2O.

O problemă având o natură fizică oarecare poate fi studiată experimental sau prin simulare. Aceasta poate

fi transformată, utilizând legile fundamentale ale fizicii într-o problemă de natură matematică M P . Vom

spune că problema este bine pusă dacă admite o soluţie unică.

Matematici apl icate

Fizicã teoreticã

Problema fizicã PF

Fizicã experimentalã Rezul tate numerice

Problemã matematicã PM

Fig.1.1. Modal itãþi de abordare a problemelor fizice

Ca exemplu, vom considera următoarea problemă fizică:

PF: Să se studieze propagarea temperaturii într-o bară AB de lungime l cunoscând

-temperaturile la momentul iniţial în orice punct M al barei x, x 0, l 0  

-temperaturile la cele două capete t A  şi t B  în orice moment t  0, t1