Prelucrarea Imaginilor Digitale 2

Orice functie periodica poate fi exprimata ca o suma de functii cos si sin, fiecare multiplicata cu un coeficient: Seria Fourier

O functie neperiodica, dar a carei arie de sub curba, este finita, poate fi exprimata ca o integrala de functii sin si cos, fiecare multiplicata cu coeficienti de ponderare: Transformata Fourier.

In ambele situatii, functia initiala poate fi reconstruita printr-un proces invers, fara pierdere de informatie.

Transformata Fourier (directa si inversa) pentru o functie de o variabila :

Transformata Fourier (directa si inversa) pentru o functie de doua variabile:

Transformata Fourier (directa si inversa) discreta pentru o functie de o variabila:

Transformata Fourier discreta exista intotdeauna

Transformata Fourier se mai poate scrie:

Observatie: Fiecare termen al transformarii Fourier este o suma a tuturor termenilor functiei f(x), multiplicati cu coeficientii ce contin functiile sin si cos.

Fiecare componenta a sumei ce il da pe F(u) se numeste componenta in/de frecventa a transformarii.

Transformata Fourier este o marime complexa.

Se mai poate scrie:

unde: este magnitudinea (amplitudinea) spectrului transformatei Fourier

este unghiul de faza sau faza spectrului

puterea spectrala, sau densitatea spectrala

Se face mentiunea ca functia f(x) nu trebuie mereu sa ia valori in intervalul [0, M-1]. In general f ia valori in intervalul:

Variabila u, ia valori in succesiunea:

Este valabila relatia:

Filtrarea in domeniul frecventelor presupune parcurgerea urmatoarelor etape:

Translatarea imaginii initiale f(x,y) in vederea centrarii ulterioare a originii frecventelor Acest lucru se face prin inmultirea imaginii cu (-1)x+y.

Calculul transformatei Fourier F(u,v), pentru imaginea translatata

Inmultirea transformatei cu un filtru H(u,v). Rezulta G(u,v)=H(u,v) *F(u,v) (Inmultirea se face element cu element) – diferenta fata de convolutie

Calculul transformatei inverse a rezultatului produsului H(u,v) *F(u,v)

Separarea partii reale din rezultatul pasului anterior

Reconstructia imaginii prin inmultirea rezultatului pasului anterior cu (-1)x+y

Functia filtru H(u,v), elimina unele frecvente din imagine, lasand altele neschimbate.

Exemple:

Filtrul de tip Notch (crestatura), care produce o imagine cu valoarea medie de gri 0 (pentru ca face valoarea F(0,0) nula.

Filtrul trece jos (lowpass filter)

Filtrul trece sus (highpass filter)

Retinem ca frecventele inalte poarta informatia despre detalii, variatii in intensitate (muchii) sau zgomot, in vreme ce frecventele joase sunt “raspunzatoare” pentru zonele fara variatii semnificative ale nuantelor de gri.