Prelucrarea Semnalelor - Curs 2

2.4. Aplicatii ale seriilor Fourier

Seriile Fourier reprezinta baza întregii discipline a prelucrarii semnalelor. Aplicatiile seriilor Fourier pot fi grupate in doua categorii de baza:

A) Analiza si sinteza spectrala a semnalelor

Daca consideram un sistem LIT (Liniar si Invariant în Timp) caruia i se aplica la intrare un semnal sinusoidal de forma , iesirea va fi de asemenea un semnal sinusoidal, de aceeasi frecventa , dar de amplitudine si faza initiala diferite, de forma .

Se aplica apoi la intrarea sistemului un semnal reprezentat printr-o functie periodica arbitrara f(t), care poate fi exprimata printr-o serie Fourier de forma 2.1.13, cu . Daca se cunoaste raspunsul sistemului pentru fiecare sinusoida in parte, atunci, prin aplicarea principiului superpozitiei, semnalul de la iesirea sistemului va fi suma iesirilor corespunzatoare fiecarei sinusoide în parte. Semnalul de la iesirea sistemului poate fi scris sub forma:

Procesul de extragere, dintr-un semnal f(t), a sinusoidelor , numite si componente spectrale (sau armonice) ale semnalului, poarta denumirea de analiza spectrala .

Procesul de construire a unui semnal, dându-se componentele sale spectrale, se numeste sinteza spectrala.

Cele doua procese (analiza si sinteza spectrala) sunt constituite din operatii matematice, care pot fi implementate atât în hardware, cât si în software, pe un calculator. În identificarea lor se mai folosesc si termenii de analiza armonica respectiv sinteza armonica.

Pentru ca analiza si sinteza spectrala sa fie niste procese realizabile practic, semnalele cu care se lucreaza trebuie sa poata fi reprezentate printr-un numar finit de componente spectrale, ceea ce înseamna , unde

si

fiind eroarea de reprezentare a functiei f(t) prin seria finita . Aceasta eroare poate fi cât se vrea de mica prin luarea unei valori n suficient de mare, dar finita.

B) Filtrarea semnalelor

Consideram din nou acelasi sistem LIT, pentru care vom folosi de aceasta data variabila în descrierea sa. Vom observa ca intrarea , respectiv iesirea pot fi raportate cu ajutorul unei functii , astfel încât = (2.4.3) . Aceasta functie poate fi ea insasi scrisa sub forma unei serii Fourier

Un sistem în care relatia intrare – iesire variaza cu într-o maniera prescrisa poate fi referit prin termenul de filtru.