Procesarea Imaginilor

3. Caracterizarea matematică a imaginilor numerice

3.1. Definiţii şi notaţii

Imaginea numerică poate fi reprezentată matematic printr-o secvenţă bidimensională (2D) discretă, definită pe o grilă rectangulară de format MN cu elementul general de forma f(m,n) sau fm,n. Alternativ, ea poate fi reprezentată ca o matrice, F, cu elementul general Fm,n. Fără a pierde generalitatea, vom considera în general imagini cu format pătrat (M = N), pentru simplificarea notaţiilor şi uneori a algoritmilor de prelucrare. Frecvent, dimensiunile imaginii sunt o putere a lui 2 (N = 2K). Un element al imaginii numerice, fm,n, va fi desemnat în cele ce urmează cel mai frecvent prin termenul de “pixel ”. În text, ne vom referi uneori la secvenţe de imagini, reprezentând structuri de date tridimensionale sau imagini 3D. Elementul general de va nota fm,n,t, folosindu-se un indice suplimentar pentru variabila timp discret. Un alt exemplu de imagini 3D sunt imaginile volumetrice obţinute în imagistica biomedicală (tomografie, rezonanţă magnetică nucleară). Imagini 3D sunt, de asemenea, imaginile color şi imaginile multispectrale furnizate de sateliţi în aplicaţii de teledetecţie. Uneori este convenabil să interpretăm o asemenea structură de date ca o imagine 2D al cărei element general este un vector. Elementul general poate fi desemnat prin termenul de “voxel “, “trixel “ etc. Pentru conciziune, uneori este convenabil să ne referim la întreaga imagine, ca la un vector lung, f, obţinut prin concatenarea rândurilor imaginii:

fr = [f0,0 f0,1  f0,N-1 f1,0 f1,1  f1,N-1  fM-1,N-1 ]T , (3.1)

sau al coloanelor:

fc = [f0,0 f1,0  fN-1,0 f0,1 f1,1  fN-1,1  fM-1,N-1 ]T . (3.2)

3.1.1. Vecinătăţi

Un pixel p = fx,y are patru vecini orizontali şi verticali: fx-1,y, fx+1,y, fx,y-1, fx,y+1. Ei sunt denumiţi “4-vecini” şi formează vecinătatea V4(p) a pixelului p .Toţi 4-vecinii sunt situaţi la o distanţă de o unitate faţă de pixelul p. Pixelul p are, de asemenea, patru vecini diagonali: fx-1,y-1, fx+1,y-1, fx-1,y+1, fx+1,y+1. Distanţa euclidiană până la vecinii diagonali este de unităţi. Vecinii diagonali, împreună cu cei paru vecini orizontali şi verticali, formează grupul de pixeli “8-vecini” ai lui p, desemnat prinV8(p). Cele două tipuri de vecinătăţi sunt redate în Fig. 3.1. O problemă specială apare la pixelii situaţi la marginile imaginii. Aceştia au un set incomplet de vecini, situaţie ce trebuie ţinută sub control la implementarea algoritmilor de prelucrare.

Fig. 3.1. Vecinătăţile unui pixel

3.1.2. Conectivitate

Noţiunea de conectivitate este importantă în imagini binare sau mai general în imagini segmentate. Într-o imagine binară, imaginea ia valori în mulţimea {0,1}. La imaginile segmentate, valoarea asociată coordonatelor pixelului are semnificaţia unei “etichete”, l, ce identifică regiunea Rl din imagine, de care aparţine pixelul. Un pixel q este conex sau adiacent cu pixelul p dacă qp, unde p este o vecinătate a lui p şi are aceeaşi valoare. Notăm faptul că pp şi implicaţia qp  pq. Dacă p=V4(p), q este 4-conex sau 4-adiacent cu p. Dacă p=V8(p), q este denumit 8-conex sau 8-adiacent cu p.

Este util să consemnăm aici faptul că, în analiza imaginilor, ambele tipuri de conectivitate sunt necesare. Exemplul din Fig. 3.2 ne ajută să înţelegem motivul. Pixelii reprezentaţi cu gri au

Fig. 3.3. Paradoxul topologic existent în cazul definiţiei unice a conectivităţii

nivelul 1, în timp ce pixelii albi au nivelul 0 şi aparţin fundalului. Se pune întrebarea: câte obiecte sunt prezente în figură? Considerăm întâi 4-conectivitatea. În acest caz răspundem că figura conţine patru obiecte neconexe. În acest caz, toate punctele fundalului trebuie să fie conexe, dar constatăm că punctele din fundal situate în zona centrală a imaginii nu sunt 4-conexe cu punctele de la marginea fundalului, ceea ce, din punct de vedere topologic constituie o contradicţie. Alternativ, considerăm 8-conectivitatea şi răspundem că figura conţine un singur obiect (probabil rezultat prin discretizarea imaginii literei “O” ?). În acest caz, gaura din centrul obiectului trebuie să nu fie 8-conexă cu exteriorul, dar constatăm contrariul. Dilema poate fi înlăturată dacă folosim tipuri de conectivitate diferite pentru obiect şi fundal. De exemplu, 8-conectivitate pentru obiect şi 4-conectivitate pentru fundal.

Un alt tip de conectivitate, reprezentând o variantă modificată a 8-conectivităţii, este conectivitatea mixtă sau m-conectivitatea. Doi pixeli, p şi q, sunt m-conecşi sau m-adiacenţi dacă:

(i) qV4(p) sau

(ii) qV8(p) şi V4(p)  V8(p) = .

Conectivitatea mixtă a fost introdusă pentru a se evita o ambiguitate referitoare la calea de interconectare între doi pixeli 8-vecini. Noţiunea de cale este necesară pentru a defini o altă noţiune, cea de componentă conexă.

Fig. 3.4. Căi pentru o configuraţie de pixeli: a) 8-conectivitate, b) m-conectivitate

O cale de la pixelul p de coordonate (xp,yp) la pixelul q de coordonate (xq,yq) este o secvenţă de pixeli distincţi cu coordonatele (x0,y0), (x1,y1),  , (xn,yn), astfel încât (x0,y0) = (xp,yp), (xn,yn) = (xq,yq) şi (xi-1,yi-1) este adiacent cu (xi,yi), cu i = 1, 2,  , n -1. În Fig. 3.4 sunt marcate cu linie punctată căile dintre pixelii obiectului, pentru 8-conectivitate (Fig. 3.4a), respectiv pentru m-conectivitate (Fig. 3.4b).

Fie S o submulţime de pixeli în imagine şi p,qS. Pixelii p şi q sunt conecşi în S dacă există o cale între p şi q care să conţină numai pixeli din S. Pentru orice pixel pS, mulţimea tuturor pixelilor din S conecşi cu p formează o componentă conexă în S. Într-o componentă conexă, toţi pixelii sunt conecşi între ei.