Cristalografie

1.5. Grupuri punctuale (clase de simetrie)

Un loc important în caracterizarea cristalografică a unui cristal îl ocupă grupurile cristalografice – grupurile punctuale, în cazul figurilor finite (formele exterioare ale cristalelor) şi grupurile spaţiale, în cazul figurilor infinite (structura reticulară).

Un cristal poate avea mai multe elemente de simetrie. Posibilităţile de existenţă simultană a elementelor de simetrie sunt limitate numai la acelea compatibile cu simetria de reţea.

Totalitatea elementelor de simetrie ale unui cristal, constituie formula de simetrie a cristalului respectiv.

Pentru deducerea posibilităţilor de combinare a elementelor de simetrie ale unui cristal şi, implicit, a formulei sale de simetrie, trebuie respectate următoarele reguli:

1. Axele de simetrie (în general A2) perpendiculare pe o axă de ordinul „n” formează între ele ;

2. Planele de simetrie care se intersectează după o axă de ordinul „n” formează între ele

3. Existenţa a două elemente de simetrie simple din care cel puţin unul este de ordin par implică existenţa celui de-al treilea element; se întâlnesc astfel 3 cazuri: sau sau ;

4. Existenţa a două elemente de simetrie simple din care cel puţin unul este impar exclude posibilitatea existenţei celui de-al treilea element; se deosebesc două cazuri: sau

5. Existenţa unui plan (în general P2) care conţine o axă de ordinul „n” implică existenţa a n plane (P2) la intersecţia cărora se află axa de ordinul „n” ( ).

6. Existenţa unui axe (în general A2) perpendiculare pe o axă de ordinul „n” implică existenţa a n axe perpendiculare ( ).

7. Cu axele de simetrie principale unice (A3, A4, A6) se pot asocia, pe lângă planele perpendiculare (P3, P4, P6) numai elemente de ordinul 2 (axe şi/sau plane).

Regulile de mai sus sunt variabile şi se aplică şi în cazul axelor de inversiune. În acest caz însă se iau în consideraţie elementele simple echivalente.

Conform acestor reguli s-a demonstrat că în cazul cristalelor nu sunt posibile decât 32 formule de simetrie, care corespund la 32 grupuri punctuale (clase de simetrie).

Un grup punctual cuprinde toate cristalele cu aceeaşi formulă de simetrie.

Deducerea grupurilor punctuale se face plecând de la axele de simetrie simple cărora li se adaugă, pe rând, celelalte elemente de simetrie: plan perpendicular, plane paralele, axe de ordinul doi perpendiculare, şi ultimul caz, atât plan perpendicular, cât şi plane paralele. În cazul în care se iau în consideraţie şi axele de inversiune, se obţin 7 tipuri de grupuri punctuale:

- grupuri primitive, simbolizate în sistemul internaţional prin X;

- grupuri primitive de inversiune, simbolizate în sistemul internaţional prin ;

- grupuri centrate, simbolizate în sistemul internaţional prin ;

- grupuri planare, simbolizate în sistemul internaţional prin X m;

- grupuri planare de inversiune, simbolizate în sistemul internaţional prin m;

- grupuri axiale, simbolizate în sistemul internaţional prin X 2;

- grupuri plan – axiale, simbolizate în sistemul internaţional prin m.

În sistemul internaţional al grupurilor punctuale se menţionează numai elementele care conduc la apariţia simetriei, şi anume planele sau axele.

Astfel, o prismă cu baza pătrat are formula de simetrie sau, iar în sistemul internaţional În prima poziţie se menţionează axa principală (A4), corespunzător axei cristalografice Z, în poziţia a doua sunt menţionate cele două axe de ordinul doi (2A2) corespunzătoare axelor cristalografice X şi Y, iar în poziţia a treia axele de ordinul doi (2A2) diagonale (la 45º).

În mod convenţional, cifra 3 din poziţia a doua din simbolul internaţional al unui grup punctual indică existenţa a patru axe de ordinul 3. În cazul în care cifra 3 ocupă prima poziţie, indică existenţa unei singure axe principale de ordinul 3.

În paralel cu notaţia internaţională a grupurilor punctuale se mai foloseşte notaţia Schnöflies, utilizată mai ales în notarea formulelor grupurilor spaţiale în cazul structurilor. Principalele tipuri de grupuri, în această notaţie, sunt:

- grupurile ciclice – simbolizate prin litera C şi

- grupurile diedrice – simbolizate prin litera D.

Grupurile ciclice conţin o singură axă de simetrie, de cele mai multe ori în poziţie verticală (corespunzătoare axei cristalografice Z), iar grupurile diedrice conţin, pe lângă axa principală, şi axe de ordinul 2 perpendiculare pe aceasta[Macaleţ, 1996]. Literele C sau D prezintă anumiţi indici. Indicii situaţi în partea dreaptă jos, corespund axei de simetrie principale. Grupurile conţinând axele de simetrie corespunzătoare octaedrului (4 3 2) şi tetraedrului (2 3) se simbolizează cu litera O şi, respectiv T, iar grupurile cu axe de inversiune se notează cu litera S. Literele v, h şi d simbolizează planele de simetrie: v - verticale, h – orizontale şi d – diagonal.

Simbolurile Schönflies conţin numai elementele minime necesare deducerii formulei de simetrie, formule determinate pe baza regulilor de asociere a elementelor de simetrie. Astfel, de exemplu, grupul punctual C6h indică un grup ciclic conţinând o axă de simetrie de ordinul 6 (A6) şi un plan orizontal, perpendicular pe el (P6), în consecinţă formula de simetrie va fi , sau, în notaţia internaţională De asemenea, un grup punctual notat D4h, indică un grup diedric. Pe axa principală (A4) există un plan de simetrie perpendicular (P4). Luând în consideraţie axele de ordinul 2 perpendiculare pe axa A4 (4A2, conform regulei 6) şi centrul de simetrie (determinat de regula 3), formula de simetrie corespunzătoare va fi sau, internaţional [Macaleţ, 1996].