Legi de Probabilitate

Capitolul II. LEGI DE PROBABILITATE

II.1. Variabile aleatoare discrete

Fie [I, (I),Pr] un câmp de probabilitate, unde

I={x , x ,…, x ,…,x }

este mulţimea rezultatelor posibile (finită sau infinit numărabilă), desemnând în acest caz numere şi p probabilitatea fiecărui eveniment elementar { x }.

Definiţia 1. Numim variabilă aleatoare, o aplicaţie f care asociază fiecărui element al spaţiului de selecţie (eveniment elementar), un număr x .

Definiţia 2. Legea de probabilitate a variabilei discrete X este mulţimea (finită sau infinit numărabilă) de cupluri (x , p ), unde x I desemnând un rezultat posibil iar p probabilitatea evenimentului elementar asociat acestui rezultat.

Dându-se valorile numerice posibile x a variabilei aleatoare X , în vederea caracterizării acesteia este suficient să cunoaştem cuplurile (x , p ), i= . O variabilă aleatoare se notează simbolic:

x … x …x

X:

p … p …p

cu p =P(X= x ) şi .

O variabilă aleatoare X, este o opţiune a priori, fiind posibil a înregistra una din valorile x , i= . Aceasta nu trebuie confundată cu o valoare particulară x , care constituie rezultatul observat în urma efectuării experienţei, prin urmare este o noţiune a posteriori.

Legea Bernoulli

Aceastǎ lege corespunde experienţelor aleatoare cu douǎ rezultate posibile.

Definiţia 1. O variabilǎ urmează legea lui Bernoulli dacǎ admite doar douǎ valori posibile 0 şi 1 cu probabilităţile de realizare q respectiv p. O asemenea variabilǎ se notează Z(p) şi se mai numeşte variabilǎ Bernoulli.

Deoarece p + q = 1, cunoaşterea parametrului p este suficient pentru a caracteriza o astfel de variabilǎ.

Simbolizǎm aceastǎ variabilǎ astfel:

Z(p) : .

E(Z) = 0 * q + 1 * p = p

V(Z) = E(Z ) – [E (Z)] = p - p = p*q

Într-o experienţǎ cu douǎ rezultate posibile, cum ar fi: calitate sau noncalitate, apare sau nu apare, adevărat sau fals, evenimentului convenabil i se asociază 1 cu o probabilitate p corespunzând şanselor apriori de realizare a acestuia. O astfel de experienţǎ se numeşte experienţǎ Bernoulli.

Legea binomialǎ

Definiţia 2. O variabilǎ aleatoare binomialǎ este suma a n variabile aleatoare de tip Bernoulli independente de acelaşi parametru p.

O variabilǎ care urmează o astfel de lege de parametri n şi p se notează cu:

unde Z (p), i= este o variabilǎ Bernoulli. Ansamblul de valori posibile a unei variabile binomiale este constituit din numerele întregi de la 0 la n.