Matematică

Curs
9/10 (1 vot)
Domeniu: Economie
Conține 9 fișiere: pdf
Pagini : 119 în total
Cuvinte : 25469
Mărime: 5.04MB (arhivat)
Cost: Gratis

Extras din document

Prin matrice intelegem o aplicatie A: I x J , unde I 1,2,...,m ; J 1,2,...,n , o

multime oarecare. Ea poate fi reprezentata printr-un tablou de elemente din ?, asezate pe linii si

coloane.

Pentru o matrice de tipul m x n vom folosi notatia:

11 12 1

21 22 2

1 2

.....

.....

A

..... ..... ..... .....

.....

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

(1.1.1)

Suprimand din matricea A, m - r linii si n - r coloane, obtinem o matrice patratica de

ordinul r. Determinantul acestei matrice se numeste minor de ordinul r al matricei.

Definitia 1.1.1. Numim rangul unei matrice A de tipul m x n (m n) un numar natural r

cu proprietatile:

a) in matrice exista cel putin un minor de ordinul r diferit de zero.

b) toti minorii de ordinul r + 1 sunt nuli.

Observatie. Se demonstreaza ca daca toti minorii de ordinul r + 1 sunt nuli, atunci sunt

nuli si toti minorii de ordin mai mare ca r + 1.

In continuare vom pune in evidenta operatii pe care le vom numi transformari elementare,

care se bucura de proprietatea ca nu modifica rangul unei matrice. Ele au la baza proprietatile

determinantilor.

1.1.2 TRANSFORMARI ELEMENTARE

Definitia 1.1.2. Numim transformare elementara aplicata unei matrice una din

urmatoarele operatii:

(T1) - inmultirea unei linii cu un scalar real nenul ( 0 );

(T2) - adunarea unei linii la o alta linie;

9

(T3) - schimbarea a doua linii intre ele.

Teorema 1.1.1. Transformarile elementare nu modifica rangul unei matrice.

Demonstratie. Fie matricea A de tipul m x n si matricele i T (i 1,3) care se obtin din

matricea unitate Im. Inmultind la stanga matricea A cu matricele i T obtinem matricele i i A T A .

Presupunem ca rangul matricei A este A r . Vom avea:

Ai Ti A A A r min (r ,r ) = min (m, r ) = r (1.1.2)

Din i i A TA, cum Ti sunt ineversabile gasim 1

i i A T A si deci:

Ai Ti A Ai Ai r min (r ,r ) = min (m,r ) = r (1.1.3)

Din (1.1.2) si (1.1.3) rezulta ca

Ai A r = r , i=1,3.

Definitia (1.1.3). Doua matrice A si B care se obtin una din alta prin transformari

elementare se numesc echivalente ( in privinta rangului) si scriem A B.

1.1.3. FORMA GAUSS - JORDAN A UNEI MATRICE

Fie A matricea unui sistem de m ecuatii algebrice liniare cu n necunoscute (m < n) .

Definitia 1.1.4. Matricea A se spune ca are forma Gauss-Jordan daca contine r (r m)

coloane ale matricei unitate de ordinul m.

Daca aceste coloane sunt 1 2 , ,....., r j j j atunci forma matricei este

' '

1 1

' '

2 2

' '

....1 .... 0 .... 0 ....

.... 0 .... 1 .... 0 ....

......................................

.... 0 .... 0 ....1 ....

0.. 0.... 0 .... 0 0 ....... 0

......................................

0.. 0.... 0 .... 0 0 ...

k n

k n

rk rn

a a

a a

A ? a a

.... 0

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

(1.1.4)

10

Teorema 1.1.2. Orice matrice nenula poate fi adusa la forma Gauss-Jordan, printrun

numar finit de transformari elementare.

Demonstratie. Fie deci matricea A de tipul m x n a unui sistem liniar de m ecuatii cu n

necunoscute.

Preview document

Matematică - Pagina 1
Matematică - Pagina 2
Matematică - Pagina 3
Matematică - Pagina 4
Matematică - Pagina 5
Matematică - Pagina 6
Matematică - Pagina 7
Matematică - Pagina 8
Matematică - Pagina 9
Matematică - Pagina 10
Matematică - Pagina 11
Matematică - Pagina 12
Matematică - Pagina 13
Matematică - Pagina 14
Matematică - Pagina 15
Matematică - Pagina 16
Matematică - Pagina 17
Matematică - Pagina 18
Matematică - Pagina 19
Matematică - Pagina 20
Matematică - Pagina 21
Matematică - Pagina 22
Matematică - Pagina 23
Matematică - Pagina 24
Matematică - Pagina 25
Matematică - Pagina 26
Matematică - Pagina 27
Matematică - Pagina 28
Matematică - Pagina 29
Matematică - Pagina 30
Matematică - Pagina 31
Matematică - Pagina 32
Matematică - Pagina 33
Matematică - Pagina 34
Matematică - Pagina 35
Matematică - Pagina 36
Matematică - Pagina 37
Matematică - Pagina 38
Matematică - Pagina 39
Matematică - Pagina 40
Matematică - Pagina 41
Matematică - Pagina 42
Matematică - Pagina 43
Matematică - Pagina 44
Matematică - Pagina 45
Matematică - Pagina 46
Matematică - Pagina 47
Matematică - Pagina 48
Matematică - Pagina 49
Matematică - Pagina 50
Matematică - Pagina 51
Matematică - Pagina 52
Matematică - Pagina 53
Matematică - Pagina 54
Matematică - Pagina 55
Matematică - Pagina 56
Matematică - Pagina 57
Matematică - Pagina 58
Matematică - Pagina 59
Matematică - Pagina 60
Matematică - Pagina 61
Matematică - Pagina 62
Matematică - Pagina 63
Matematică - Pagina 64
Matematică - Pagina 65
Matematică - Pagina 66
Matematică - Pagina 67
Matematică - Pagina 68
Matematică - Pagina 69
Matematică - Pagina 70
Matematică - Pagina 71
Matematică - Pagina 72
Matematică - Pagina 73
Matematică - Pagina 74
Matematică - Pagina 75
Matematică - Pagina 76
Matematică - Pagina 77
Matematică - Pagina 78
Matematică - Pagina 79
Matematică - Pagina 80
Matematică - Pagina 81
Matematică - Pagina 82
Matematică - Pagina 83
Matematică - Pagina 84
Matematică - Pagina 85
Matematică - Pagina 86
Matematică - Pagina 87
Matematică - Pagina 88
Matematică - Pagina 89
Matematică - Pagina 90
Matematică - Pagina 91
Matematică - Pagina 92
Matematică - Pagina 93
Matematică - Pagina 94
Matematică - Pagina 95
Matematică - Pagina 96
Matematică - Pagina 97
Matematică - Pagina 98
Matematică - Pagina 99
Matematică - Pagina 100
Matematică - Pagina 101
Matematică - Pagina 102
Matematică - Pagina 103
Matematică - Pagina 104
Matematică - Pagina 105
Matematică - Pagina 106
Matematică - Pagina 107
Matematică - Pagina 108
Matematică - Pagina 109
Matematică - Pagina 110
Matematică - Pagina 111
Matematică - Pagina 112
Matematică - Pagina 113
Matematică - Pagina 114
Matematică - Pagina 115
Matematică - Pagina 116
Matematică - Pagina 117
Matematică - Pagina 118
Matematică - Pagina 119

Conținut arhivă zip

  • Matematica
    • us1.pdf
    • us2.pdf
    • us3.pdf
    • us4.pdf
    • us5.pdf
    • us6.pdf
    • us7.pdf
    • us8.pdf
    • us9.pdf

Alții au mai descărcat și

Randamentul Folosirii Factorilor de Productie

CAPITOLUL 1 FACTORII DE PRODUCŢIE – PREZENTARE GENERALĂ Analiza factorilor de producţie este organic legată de noţiunea de resurse economice. În...

Doctrine Economice

1. Gândirea economică premodernă Platon (427-347 î.e.n.) Doctina economică a lui Platon Statul ideal, real şi posibil Aristotel (384-322 î.e.n)...

Economia Intreprinderii

Întreprinderea=unitate organizatorică ce reuneşte o serie de resurse materiale, financiare şi umane la care se adaugă cele informaţionale, în...

Management

CURS 1 12.10.2011 Managementul este un termen care provine din limba engleza si care se refera la stiinta conducerii organizatiilor...

Istoria Economiei

1.Citate reprezentative despre trecutul economic și istoria economică „Istoria tuturor societăților de până azi este istoria luptelor de clasă.”...

Microeconomie

Microeconomia este o ramura a economiei care se ocupa de studiul comportamentului unitatilor economice individuale - cum sunt : firmele si...

Economia Intreprinderii

Nu există o definiţie exactă întreprinderii, însă astăzi, ea poate fi considerată ca un flux obţinut de un consens între diferite discipline....

Microeconomie

1.1. Economia–componentă principală a societăţii umane 1.2. Apariţia şi dezvoltarea economiei politice ca ştiinţă 1.3. Obiectul de studiu al...

Ai nevoie de altceva?