Matematici Superioare Aplicate în Economie

Introducere

Implementarea Procesului Bologna la Facultatea de economie a impus o

radicală restructurare a planurilor de învăţământ şi a programelor analitice. În consens

cu aceste schimbări am considerat de mare utilitate elaborarea unor materiale

bibliografice actualizate. Această acţiune este de fapt o continuare firească a unei

preocupări recunoscute de sprijinire a studenţilor în efortul lor de însuşire a

cunoştinţelor necesare unui viitor economist.

Prezentele note de curs au la bază cărţile apărute în anii din urmă la

Universitatea „Petre Andrei” şi au fost scrise de profesori ai universităţii.

Pentru o informare completă recomandăm:

1. V. Tamaş, Lecţii de calcul economic. Editura Universităţii „Al.I. Cuza”,

Iaşi, 1970.

2. V. Tamaş, Lecţii de programare matematică, Iaşi, 1975.

3. V. Tamaş şi colectiv, Matematici generale pentru economişti, Editura

Graphix, Iaşi, 1993.

4. V. Tamaş şi colectiv, Modele matematice în economie, Iaşi, Editura

Graphix, Iaşi, 1995.

5. V. Tamaş, Matematică pentru studenţii economişti, Editura Junimea, Iaşi,

2001.

3

CAPITOLUL 1

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

1.1. Spaţii vectoriale (spaţii liniare)

Fie S≠Ø şi k un corp comutativ.

Definiţia 1.1.

Spunem că S este un k-spaţiu vectorial dacă pe S este definită o operaţie

internă binară notată + faţă de care este grup şi există o operaţie externă, prin care (∀)

aoek şi u∈S îi asociem elementul αu din S şi care îndeplineşte condiţiile:

1. a(u+v)= au+av

2. (a+b)u=au+bu

3. a(bu)=(ab)u

4. 1μu=u

pentru 1, a, b, ... din k şi u, v, ... din S.

Elementele lui S se numesc vectori în operaţia din S adunarea vectorilor.

Operaţia externă se numeşte produs cu scalari. Elementul nul din S şi elementul

nul din k le notăm cu 0.

Consecinţe:

1. Dacă S este k – spaţiu atunci (S, +) este grup abelian.

Într-adevăr fie u, v∈S. Putem scrie:

(u+v)+(u+v)=2(u+v)=2u+2v=u+u+v+v

Ţinând cont că S este grup se obţine:

v+u=u+v

pentru orice u, v∈ S.

4

2. Dacă au=0 atunci a=0 sau u=0.

Mai întâi observăm că 0u=(0+0)u=0u+0u şi deci 0u=0. Apoi a0=a(0+0)=

a0+a0 şi deci şi a0=0.

Pentru partea a doua avem: au=0. Dacă a∫0 rezultă că există a-1∈k deci

a-1(au)=1μu=u. Adică u=0.

3. (∀) a∈k şi u∈S avem:

(-a)u=a(-u)=-(au)

(-a)(-u)=au

Într-adevăr 0u=0⇒[a+(-a)]u=au+[(-a)u]=0. Dar au+(-(au))=0 şi deci (-a)u=

=-au. Pentru partea a doua avem:

(-a)(-u)=-(a(-u))=-(-au)=au

4. (∀) a, b∈k şi u, v∈S avem:

(a-b)u=au-bu

a(u-v)=au-av