Valoarea în Timp a Banilor

Procesul compunerii este un proces aritmetic de determinare a valorii finale a unei plăţi sau serii de plăţi când dobânda este menţinută ca investiţie până la final (este compusă).

Exemplu:

Presupunem că 1 leu este investit astăzi pe o perioadă de t ani cu o rată a dobânzii rt cu compunerea anuală a dobânzii. Întrebarea care se pune este câţi lei se vor obţine la finele perioadei t pentru leul investit?

La finele primului an se adaugă o sumă a dobânzii r1, obţinându-se 1+r1.

Deoarece dobânda este compusă (nu este retrasă de investitor), la sfârşitul anului doi dobânda care se plăteşte se calculează la întreaga sumă 1+r1, astfel încât dobânda plătită la finele anului doi este r2(1+r1).

Valoarea viitoare a unui leu după doi ani este = (1+r1) + r2(1+r1) = 1 + r1 + r2 + r1r2

Dacă rata dobânzii este constantă – adică r1 = r2 = rt – atunci termenul compus r1r2 poate fi scris rt2.

Valoarea dobânzii plătită la finele anului trei este r3(1+rt)2.

Valoarea viitoare a unui leu după trei ani este = (1+rt)2 + r3(1+rt)2 = 1 + r1 + r2 + r3 + r1r2 + r1r3 + r2r3 + r1r2r3 = (1+rt)3

Păstrând raţionamentul, după t ani, unde t este un număr întreg şi pozitiv, obţinem:

Valoarea viitoare a unui leu după t ani = (1+rt)t (1)

Expresia (1+r)t poartă denumirea de factor de compunere, iar r este rata de compunere. Factorul de compunere se găseşte în tabele şi se foloseşte la găsirea valorii viitoare a unei sume prezente în condiţiile unei anumite rate a dobânzii.

Procesul prin care se determină valoarea viitoare a unei sume prin compunerea dobânzii (calculul dobânzii la dobândă) la o anumită rată a dobânzii poartă denumirea de compunere.

Folosind relaţia (1) putem calcula cât se va primi pentru 1.000.000 lei investiţi la o rată a dobânzii de 8%, peste 5 ani.

1.000.000 (1+0,08)5 = 1.000.000 x (1,08)5 = 1.000.000 x 1,4693280768 = 1.000.000 x 1,469328 =1.469.328 lei

Suma totală a dobânzii de 469.328 lei este compusă din 400.000 lei dobânda aferentă sumei investite (80.000 lei/an x 5 ani) şi 69.328 lei din compunerea dobânzii (calcularea dobânzii la dobândă).

Deoarece multe investiţii generează venituri pe parcursul mai multor ani în viitor, este important să se aprecieze valoarea prezentă a plăţilor (încasărilor) viitoare.

Presupunem că o sumă de bani va fi primită după t ani la o rată anuală a dobânzii r, constantă pe această perioadă. În relaţia (1) am arătat că valoarea viitoare la finele a t ani este (1+r)t pentru un leu. Invers, valoarea prezentă a unui leu ce va fi primit la finele a t ani este:

Valoarea prezentă a unui leu

Expresia poartă denumirea de factor de actualizare, iar rt rată de actualizare.

Procesul de aflare a valorii prezente a unei plăţi sau serii de plăţi (fluxuri de numerar) viitoare poartă numele de actualizare şi este reversul compunerii.

Valoarea viitoare (VV) şi valoarea prezentă (VP)

Valoarea viitoare a unei sume de bani este valoarea pe care o va avea această sumă în viitor datorită creşterii ei pe seama luării în calcul a ratei dobânzii.

În cazul particular, când nu are loc compunerea dobânzii, valoarea viitoare se calculează în funcţie de valoarea prezentă (VP) şi rata dobânzii r pe baza relaţiei:

unde, n = numărul perioadelor (zile, trimestre, , ani)

r = rata dobânzii aferentă fiecărei perioade.

Pentru cazul particular când n = 1 an, expresia valorii viitoare este:

unde VP este cunoscută sub denumirea de capital, iar VP r este valoarea dobânzii adăugată la capital, după un an de fructificare.

Exemplu: Un individ ia cu împrumut suma de 1.000.000 lei la o rată a dobânzii de 20% pe an pe o perioadă de 9 luni. Ce sumă va trebui să ramburseze la finele celor 9 luni?

VV =

VP = 1.150.000 lei

Dacă are loc compunerea dobânzii, adică dobânda de la finele unei perioade nu este retrasă, ci capitalizată, atunci utilizând formula dobânzii compuse vom obţine formula valorii viitoare:

sau

Exemplu: Un individ solicită băncii constituirea unui depozit de 1.000.000 lei pe o perioadă de doi ani, cu capitalizarea dobânzii. Rata anuală a dobânzii este 30%. Ce sumă va avea în depozit după doi ani?

VV= lei