Matematici Speciale in Electronica

Curs
9/10 (2 voturi)
Domeniu: Electronică
Conține 3 fișiere: doc
Pagini : 41 în total
Cuvinte : 8380
Mărime: 356.09KB (arhivat)
Cost: Gratis
Profesor îndrumător / Prezentat Profesorului: Barbu Ion
Matematici Speciale in Electronica anul II

Extras din document

CAPITOLUL I FUNCŢII COMPLEXE

1. Numere complexe

1.1. Construcţia numerelor complexe

Mulţimea numerelor complexe a apărut din necesitatea extinderii noţiunii de număr, având ca punct de pornire mulţimea numerelor reale, cu scopul ca orice ecuaţie de gradul n să aibă n soluţii în noua mulţime.

Fie R corpul numerelor reale. Pe mulţimea R2 = R×R = {(x,y) / x, y R}, produsul cartezian al perechilor ordonate de numere reale, se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire astfel:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

(x1, y1) - (x2, y2) = (x1x2 – y1y2, x1y2 + y1x2)

1.1.1. Definiţie. Mulţimea R înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai sus formează corp, numit corpul numerelor complexe, ale cărui elemente se numesc numere complexe:

C = (R2, +, •)

1.1.2. Observaţie. (R2, +, •) este corp comutativ, axiomele verificâdu-se imediat, ţinând cont de proprietăţile operaţiilor de adunare şi înmulţire a numerelor reale.

Adunarea are proprietăţile:

- asociativitatea (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) , z1, z2, z3 C

- există elementul neutru faţă de adunare, 0=(0,0) şi avem:

z+0=0+z , z C

- pentru orice z=(x,y) C există opus lui

–z (–x, –y) C atfel ca z+(-z)=(-z)+z=0

- comutativitatea z1+z2=z2+z1 , z1, z2 C

Înmulţirea are proprietăţile:

- asociativitatea (z1.z2).z3=z1.(z2.z3) , z1, z2, z3 C

- există elementul neutru faţă de înmulţire, 1=(1,0) şi avem:

z.1=1.z=0 , z C

- pentru orice z=(x,y) C–{(0,0)} există inversul lui notat sau z-1 astfel ca z.z-1=z-1.z=1

care se mai poate scrie (x,y)•(x’,y’) = (1,0) ceea ce ne conduce la sistemul:

cu soluţia şi pentru (x,y) (0,0);

- comutativitatea z1.z2=z2.z1 , z1, z2 C

Forma algebrică a unui număr complex este z = x + i y, unde x este partea reală şi se notează x = Re z, y este partea imaginară şi se notează y = Im z, iar i este unitatea imaginară, i = - 1.

Simbolul z identificând orice număr complex se numeşte variabilă complexă.

Mulţimea numerelor complexe se mai poate scrie astfel:

C = { x + i y | x, y R, i = -1

1.1.3. Definiţie. Dacă z=x+iy este un număr complex, atunci:

- conjugatul său, notat cu se defineşte ca fiind ;

- modulul său, notat cu |z| este numărul real nenegativ

1.1.4. Propoziţie. Oricare ar fi z1, z2, z C sunt verificate următoarele proprietăţi:

Exerciţiu. Demonstraţi proprietăţile algebrice 1 – 7.

1.2. Planul complex

Numerele reale se pot reprezenta prin punctele unei axe. Fie (d) o axă pe care am fixat o origine şi o unitate de măsură. Dacă asociem fiecărei punct al dreptei (d) abscisa sa, se obţine o funcţie bijectivă de la punctele acestei drepte în mulţimea numerelor reale. Un număr complex z = x + i y este determinat de două numere reale x şi y.

Dacă raportăm mulţimea punctelor dintr-un plan (P) la un sistem de axe de coordonate ortogonale xOy cu originea în O, aplicaţia definită pe C cu valori în (P), care duce elementul arbitrar (x, y) C în punctul M(x, y) este o bijecţie.

Punctul M se numeşte imaginea numărului complex z = (x, y) în planul (P), iar z se numeşte afixul lui M.

1.2.1. Definiţia. Planul ale cărui puncte se identifică cu numerele complexe prin funcţia bijectivă definită mai sus se numeşte planul complex.

1.3. Reprezentarea trigonometrică a numerelor complexe

Fie z = x + i y un număr complex şi M(x,y) imaginea sa geometrică. Notăm cu , iar cu unghiul format de axa reală pozitivă cu vectorul OM. Atunci

Forma trigonometrică a numărărului complex z se scrie astfel:

z = r(cos ө + i sin ө)

unde r = |z| = este modulul numărului complex, iar ө este unghiul făcut de direcţia pozitivă a axei Ox cu vectorul , numit argumentul lui z.

Ca argument al lui z poate fi considerat unghiul ө = ө + 2 π sau ө = ө - 2π precum şi orice unghi de forma : ө + 2 k π, cu k Z.

De aici rezultă că argumentul unui număr complex dat nu este unic, având o infinitate de valori ce diferă între ele printr-un multiplu de 2 π.

Mulţimea argumentelor lui z se notează cu Arg z şi are forma:

Arg z = { ө | ө = arg z +2kπ , k Z }

Determinarea lui arg z se face ţinând seama de cadranul în care se află numărul complex.

Exerciţii. Fie z1 = 1 + i , z2 = -1 + i , z3 = - 1- i , z4 = Să se determine r, arg z, Arg z şi să se scrie forma trigonometrică pentru fiecare.

1.3.1. Definiţie. Unghiul (0, 2 ) (sau ), măsurat între direcţia pozitivă a axei Ox şi direcţia vectorului , care se determină în mod unic ca soluţie a sistemului format din ecuaţiile şi (z 0), se numeşte argumentul principal al lui z şi se notează

1.3.2. Observaţii:

1. arg((0,0)) este nedeteminat

2. toate unghiurile θ ce determină direcţia vectorului se notează prin Arg z = arg z+2kπ, k Z şi se numeşte argumentul lui z.

În baza celor prezentate anterior rezultă forma trigonometrică a unui număr complex z C–{(0,0)}:

z = r (cos θ + i- sin θ),

Preview document

Matematici Speciale in Electronica - Pagina 1
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 2
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 3
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 4
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 5
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 6
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 7
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 8
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 9
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 10
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 11
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 12
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 13
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 14
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 15
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 16
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 17
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 18
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 19
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 20
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 21
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 22
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 23
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 24
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 25
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 26
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 27
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 28
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 29
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 30
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 31
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 32
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 33
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 34
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 35
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 36
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 37
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 38
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 39
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 40
Matematici Speciale in Electronica - Pagina 41

Conținut arhivă zip

  • Matematici Speciale in Electronica
    • Cursul 1,2.doc
    • Cursul nr.3.doc
    • Cursul nr.4.doc

Alții au mai descărcat și

Tehnici de Modulatie a Semnalelor Numerice

Introducere-Tipuri de modulatie Date analogice in semnale analogice: -Modulatie AM-SCAM -Modulatie FM -Modulatie PM Date numerice in semnale...

Bazele Sistemelor de Achizitie a Datelor

1. Tema de proiectare. Să se proiecteze un sistem de achiziţie de date interfaţat cu PC pe portul serial care să achiziţioneze 4 semnale de la 4...

Proiect Structuri Hardware Reconfigurabile

TEMA PROIECT Sa se realizeze un generator de culori cu afisare pe portul VGA. Se va genera in total trei culori, sub forma unor cadre care vor fi...

Procesoare de Semnal Numeric în Telefonie Mobilă

INTRODUCERE Procesoarele digitale de semnal (DSP) sunt procesoare sau microcalculatoare ale căror seturi de instrucțiuni, software sau hardware...

Circuite Integrate Digitale

Consideratii teoretice Decodificatorul este un circuit logic care transformă o informaţie dintr-un anumit cod în alt cod recunoscut de receptor....

Motorul Pas cu Pas

Noţiuni introductive Motorul pas cu pas (MPP, stepper motor, stepping motor) este un motor electric sincron fără perii care divide o rotaţie...

Memorii RAM și ROM - Microprocesoare

15.Memorii ROM Memoriile semiconductoare numai de citire, ROM (Read Only Memory) sunt folosite doar pentru citirea informatiei (înscrisa...

Algoritmi și Tehnologii Multimedia - Capitolul 1

Sisteme multimedia pentru prelucrarea semnalelor 1.1 Introducere Multimedia a deschis noi servicii care asigura o mai convenabila si usoara...

Te-ar putea interesa și

Evaluare și Orientare Școlară la Persoanele cu Deficiențe de Auz

Argument Politica şi practica educaţională din numeroase tări ale lumii este orientată în direcţia integrării copiilor cu cerinţe educative...

Proiectarea și Modelarea Rețelelor de Calculatoare

1. CRITERII DE APROXIMARE A FUNCŢIILOR 1.1. Introducere În foarte multe aplicaţii practice apare necesitatea aproximării unei funcţii f:a,b →R...

Dezvoltarea Serviciilor de Comerț Electronic în România

CAP. I – Noţiuni introductive privind comerţul electronic şi afacerile electronice Lucrarea tratează o problemă de mare actualitate, şi anume, cea...

Proiecte Economice - Firma InfoSoft Group SRL

1. Analiza macromediului 1.1.Mediul politic 1.1.1. ForCele politice ce acCioneaza si consecinCele acestora 1.1.1.1. Partidele politice...

Ecuații Diferențiale Liniare cu Coeficienți Constanți

INTRODUCERE Teoria ecuaţiilor diferenţiale¸ reprezintă unul din domeniile fundamentale ale matematicii cu largi aplicaţii în tehnică, ca de...

Proiectarea unui filtru cu ajutorul circuitelor cu amplificatoare operaționale și sistemul având o funcție de transfer

1. Notiuni Teoretice Scurt istoric Cu mult înainte de apariţia tehnologiei digitale, calculatoarele erau construite electronic pentru efectuarea...

Școala Fundamentării Deciziilor de Managment prin Folosirea Metodelor Matematice Moderne și a Tehnicii de Calcul Electronic

I. PREZENTARE GENERALA PRINCIPALII REPREZENTANTI: - biologul si filozoful L. Von Bertalanffy - logicianul A. Rappaport - economistul si...

Sistemul Contabil din România

În funcţie de mutaţiile existente în literatura din domeniul contabilităţii, pentru studiul fenomenului contabil, putem utiliza următoarea...

Ai nevoie de altceva?