Serie cronologică

Serii de timp (serii cronologice, serii dinamice)

(note de curs)

- Zgomotul alb

- mersul la întâmplare

- procese medie mobilă (MA(q))

- procese autoregresive (AR(p))

- procese mixate (ARMA(p,q))

- seria integrată (ARIMA(p,n,q), ARFIMA(p,d,q))

- serii cointegrate, procese ARCH, GARCH.

Seria cronologică reprezintă un set sistematizat de valori ale unei varibile măsurate la momente sau intervale de timp egale şi successive. Seria cronologică este numită şi serie dinamică sau serie de timp. Din punct de vedere matematic, seria de timp este o realizare a unui proces stocastic unde Z sau unei mulţimi din Z, iar spaţiul stărilor procesului (adică ) este mulţimea R sau o submulţime a sa.

Exemple de serii cronologice :

1). Cifra de afaceri anuală a unei firme de-a lungul unui deceniu.

2). Numărul şomerilor înregistraţi trimestrial în timpul unei guvernări de patru ani.

3). Numărul poliţelor încheiate de o societate de asigurări în fiecare trimestru dintr-o perioadă de 5 ani.

4). Încasările zilnice ale unui supermarket pe o perioadă de o lună.

5). Numărul de transporturi efectuate în fiecare trimestru din ultimii 3 ani de către o firmă de transporturi auto internaţionale.

Analiza seriei de timp, identificarea, evaluarea şi separarea componentelor oferă informaţii privind :

i) trendul, adică existenţa unui sens evolutiv dominant, care se manifestă îndeosebi în condiţii de normalitate ale desfăşurării procesului;

ii) apariţia unor oscilaţii periodice sistematice, cu şanse mari de a se repeta şi în viitor, atât ca sens cât şi ca amploare;

iii) aspectul previzibil al evoluţiei unor procese, ca răspuns la unele abateri din trecut;

iv) identificarea factorilor neesenţiali, permiţând eventuala eliminare a lor;

v) caracterul inerţial al desfăşurării unor procese.

O primă clasificare a seriilor de timp este dată de împărţirea lor în serii staţionare şi serii nestaţionare.

Seria staţionară este seria ale cărei valori oscilează în jurul unui nivel de referinţă (de echilibru). Vom nota cu valoarea de la momentul t şi cu variabila aleatoare de la momentul t a cărei realizare este În limbaj matematic, seria este staţionară dacă procesul stocastic este staţionar, adică are media şi dispersia constante, iar covarianţa variabilelor din proces depinde numai de distanţa dintre momentele de timp la care sunt înregistrate. Aşadar, avem :

şi

Analize mai amănunţite disting o staţionaritate slabă şi o staţionaritate strictă. Procesul stocastic este complet caracterizat dacă pentru orice întreg şi orice mulţime de indici distincţi este cunoscută funcţia de repartiţie

Definiţia 1. Procesul stocastic este strict staţionar dacă şi pentru orice mulţime finită de indici

Definiţia 2. Procesul stocastic este slab staţionar (sau, mai simplu spus, staţionar) dacă momentele sale de ordin unu şi doi sunt finite, şi pentru orice t,s şi h (deci, covarianţa este funcţie numai de distanţa dintre variabile). Pentru staţionaritatea slabă se mai folosesc şi sintagmele : „staţionară de ordinul doi”, „staţionară în covarianţă” sau „staţionară în sens larg”.

Observaţie : Dacă este o serie de timp strict staţionară cu (adică momentele de ordin doi sunt finite), atunci dispersia lui este o constantă pentru toţi t. De asemenea, un proces stocastic strict staţionar cu primele două momente finite este şi slab staţionar. În economie majoritatea seriilor cronologice privind preţurile, masa monetară, consumul etc. nu sunt staţionare, sunt nestaţionare, deoarece prezintă tendinţe de creştere sau de scădere în timp (media lui depinde de momentul t).

În raport cu modalitatea în care se elimină tendinţa din seria de date avem :

1). Serii nestaţionare TSP („trend stationary processes”) sunt serii care prin îndepărtarea tendinţei sunt transformate în serii staţionare. Notând cu tendinţa şi cu rezultă că seria este staţionară.

2). Serii nestaţionare DSP („difference stationary processes”) sunt serii care se transformă în serii staţionare prin calculul diferenţelor de ordinul întâi sau de ordinul doi Prin aceste diferenţe se elimină şi trendul. Evident, se pot defini diferenţe şi de alt ordin, inclusiv fracţionar. O modalitate pentru a stabili dacă o serie este de tip TSP sau DSP este dată de testul Dickey-Fuller. Pentru aceasta se pleacă de la un model de forma , unde şi b sunt parametri iar este o variabilă aleatoare de medie zero şi dispersie , Dacă şi atunci seria este de tip DSP. Dacă şi , atunci seria este de tip TSP. Evident şi implică care este un proces staţionr oscilând aleatoriu în jurul lui