Sisteme de comunicație

Să considerăm un semnal x(t), eşantionat la intervale T cu impulsuri (t) ideale, de lăţime infinitezimală şi suprafaţă T.

Semnalul eşantionat poate fi scris ca o serie de impulsuri de acest tip, multiplicate cu semnalul original x(t).

(1.4)

Din analiza Fourier se ştie că

(1.5)

pentru impulsuri (t) ideale, de lăţime infinitezimală şi suprafaţă T Înlocuind (1.5) în (1. 4) obţinem:

(1.6)

Spectrul al semnalului , efectuând transformata Fourier:

(1.7)

sau, inversând ordinea de sumare şi integrând:

(1.8)

unde X() este spectrul lui x(t), sau, în final, obţinem:

(1.9)

Astfel, dacă semnalul în banda de bază x(t) are un spectru limitat la fm, spectrul semnalului eşantionat se obţine ca o suprapunere a unei serii infinite de spectre ale semnalului original pe intervalele 1/Ts, ca în figura 1.8, iar semnalul original X(f) poate fi recuperat din Xs(f) folosind un FTJ cu frecvenţa de tăiere fm şi flanc abrupt.

Dacă , apare o limitare cunoscută sub denumirea de suprapunere (aliasing), componentele spectrale superioare şi respectiv inferioare de la două benzi alăturate se suprapun şi afectează semnalul de ieşire.

I.2.1 Esantionarea la viteze superioare lui 2fm

Pentru a studia procesele ce au loc în cazul unui sistem eşantionat şi filtrat, atacat de un semnal compus dintr-o componentă cu banda limitată s(t) cu puterea S şi un spectru bine definit cu energia zero pentru f > fm , şi o componentă perturbatoare z(t) cu spectru nelimitat şi puterea Z, care este independentă de s(t), reprezentate în figura 1.9.

Să considerăm ec. (1.9) adaptată pentru spectrul de putere:

(1.10)

unde Ps(f) şi P(f) sunt spectre de putere. Dacă s(t) şi z(t) sunt independente, putem efectua suma:

(1.11)

Puterea semnalului eşantionat şi reconstituit P0 este:

(1.12)

Dacă eşantionarea se face cu viteza Nyquist , P0 este o sumă de integrale pe domenii de lăţime 2fm, ale căror centre se află la distanţa 2fm, fără a exista suprapunere, iar

(1.13)

(1.14)

Ec.(1.14) ne arată că prin eşantionarea cu frecvenţa 2fm şi reconstituirea semnalului cu FTJ cu frecvenţa de tăiere fm, atât puterea semnalului cu bandă limitată, cât şi cea a semnalului cu bandă nelimitată rămâne neafectată. Se observă că este esenţial ca semnalul de intrare, înainte de eşantionare şi codare, să fie prefiltrat, astfel toate semnalele nedorite ce însoţesc semnalul de intrare vor fi introduse în banda de trecere a sistemului.

Alegând viteza de eşantionare mai mare decât frecvenţa Nyquist: unde r > 1, ec. (1.13) devine:

(1.15)

Această situaţie este reprezentată în figura 1.10. Domeniile de integrare nu mai sunt alăturate, dar spectrul de energie al semnalului dorit este încadrat în aceste domenii. Puterea semnalului nedorit este redusă faţă de cazul anterior la valoarea 2fm /2fm r sau 1/r (se elimină energia zgomotului din domeniile haşurate). Rezultă,

(1.16)

Deci, crescând viteza de eşantionare peste viteza Nyquist, obţinem o îmbunătăţire a raportului S/Z (eşantionarea cu dublul vitezei Nyquist 4fm produce o îmbunătăţire cu 3 dB).

Dacă considerăm acum semnalul cuantizat, el poate fi tratat ca suma dintre semnalul dorit şi o componentă distorsionată ce rezultă în urma cuantizării, cu un spectru foarte întins, adică obţinem exact cazul tratat anterior. O concluzie logică este că în cazul eşantionării cu o viteză egală cu viteza Nyquist, puterea semnalului distorsionant în banda de trecere este egală cu puterea semnalului distorsionant dat de circuitul de cuantizare.

I.3 Cuantizarea semnalelor

Pentru a beneficia de avantajele transmisiilor numerice, semnalul eşantionat este convertit sub formă binară, fiecare eşantion fiind prin n biţi, care corespund unui număr de 2n nivele. Astfel, valorile eşantioanelor sunt discretizate (reduse la un număr finit de valori), operaţie numită CUANTIZARE. Un exemplu de eşantionare şi conversie A/D a unei forme de undă este reprezentat în figura 1.11.