Algoritmi de optimizare în ingineria electrică

CURSUL NR. 1.

INTRODUCERE ÎN PROBLEMATICA OPTIMIZĂRII. CLASIFICAREA PROBLEMELOR DE OPTIMIZARE. FORMA STANDARD A UNEI PROBLEME DE OPTIMIZARE.

1. INTRODUCERE

1.1. ASPECTE GENERALE PRIVIND PROBLEMELE DE OPTIMIZARE

În cadrul etapelor de proiectare (design), optimizarea a devenit o componentă necesară, obligatorie, atunci când se impun cerinţe de performanţă a produsului realizat. Zona problematică nu se reduce doar la inginerie, fiind cunoscute o serie de aplicaţii economice, de la evaluarea şi optimizarea performanţelor unei investiţii la aplicaţii bancare ori din sfera asigurărilor. În anii din urmă, când optimizarea profitului a devenit un termen al limbajului comun, aplicaţiile de optimizare, explicite ori implicite (de exemplu, programele care comanda maşinile automate de croire/tăiere în industria lemnului ori industria confecţiilor) sunt tot mai prezente. De asemenea, instrumentele soft-ware de tip MAT-LAB au cunoscut în ultimele versiuni îmbogăţirea semnificativă a aplicaţiilor utilizabile pentru rezolvarea problemelor de optimizare.

Optimizarea reprezintă în cazul general acţiunea de obţinere a celui mai bun rezultat în anumite condiţii impuse.

Conform definiţiei, procedeul poate fi aplicat unei extrem de largi varietăţi de probleme. Din domeniul ingineriei, cele mai importante direcţii care au determinat în timp evoluţia tehnicilor de optimizare, sunt :

- proiectarea aerospaţială (probleme de masa minimă)

- inginerie civilă (dimensionarea structurilor de rezistenţă, dimensionarea grinzilor în structurile metalice, dimensionarea spaţiilor utile din construcţii)

- proiectarea pieselor mecanice

- proiectarea dispoziţivelor electrotehnice (dimensionarea miezului magnetic, al înfăşurărilor, al elementelor de răcire, controlul nivelului de vibraţii ori al armonicilor)

- proiectarea echipamentelor energetice şi a reţelelor energetice

- proiectarea unităţilor ori a liniilor de producţie

Din punct de vedere istoric, bazele clasice ale tehnicilor de optimizare, bazate pe operatori derivativi, au fost puse prin lucrările lui Newton, Filipacci, Euler, dar mai ales prin cercetările lui Cauchy şi Lagrange. Aceştia din urma au reuşit în sec. 19 să acopere teoretic domeniul clasic al problemelor de optimizare, pentru funcţii liniare şi neliniare dar şi pentru cazurile aplicaţiilor care suferă restricţii.

Pînă la mijlocul sec.20 progresele în domeniul teoretic şi practice al tehnicilor de optimizare au fost neînsemnate. Apariţia calculatorului numeric a schimbat fundamental direcţiile cercetării matematice şi a grăbit în anii ’50 şi ’60 cercetările şcolii engleze de matematică care s-au orientat asupra domeniului algoritmilor numerici. Al doilea impuls a venit din direcţia care se poate încadra sub numele generic de “inteligenţă artificială”.

Elementele generale ale formulării unei probleme de optimizare presupun cunoaşterea prealabilă a regulilor de proiectare dintr-un domeniu specific apoi abilitatea de a descrie proiectarea în termeni matematici. Aceasta presupune:

- designul variabilelor

- designul parametrilor

- designul funcţiilor obiectiv

În cele ce urmează, prin termenul “design” vom desemna operaţiile de proiectare, alegere. Cum termenul ales are o sferă mai largă în raport cu fiecare operaţie amintită, este potrivit în descrierea etapelor algoritmilor, tehnicilor de optimizare.

1.2. CLASIFICAREA PROBLEMELOR DE OPTIMIZARE.

Problemele de optimizare pot fi descrise, clasificate în mai multe feluri, în funcţie de diverse moduri de abordare:

A) pe baza existenţei constrîngerilor: optimizări cu ori făra constrîngeri

-problemele fără constrîngeri prezintă funcţtie obiectiv dar lipsesc constrîngerile aplicate variabilelor. Ajustarea datelor masurate ori calculate, data fitting, este un domeniu tipic al acestui gen de optimizare. Funcţia obiectiv trebuie sa fie obligatoriu una neliniară, deoarece minimum unei funcţii liniare fara constrîngeri este -∞.

B) pe baza naturii variabilelor de design (variabile de proiectare) se definesc

două tipuri importante:

-optimizarea parametrilor (optimizare statică): problema este aflarea valorilor pentru setul de parametrii de proiectare care formează un set de funcţii prescrise, supuse unor constrîngeri

-optimizarea traiectoriei (optimizare dinamică) : problema este aflarea setului de parametrii de proiectare, care sunt funcţii continue de alţi parametrii, care minimizează functia obiectiv supusă unui set de restricţii

C) pe baza structurii fizice a problemei se definesc două grupe:

-control optimal: sunt probleme de programare matematică ce presupune mai multe etape, unde fiecare etapă este determinată de cea precedentă într-un mod prescriptibil. Sunt descrise de două tipuri de variabile: cele de stare şi cele de control. Variabilele de control (variabilele de design) trebuiesc determinate aşa încît să minimizeze toate funcţiile obiectiv (indicele de performanţă) supuse la setul de restrcţii, la nivelul tuturor etapelor care definesc procesul.

-controlul suboptimal: nu minimizează îtregul set de variabile pe la nivelul tuturor etapelor din proces. De multe ori ţn problemele practice de inginerie, adoptarea tehnicilor suboptimale poate simplifica remarcabil soluţia problemei, pătrînd un nivel de performanţă impus iniţial

D) pe baza naturii ecuaţiilor modelului matematic: expresiile matematice ale funcţei obiectiv ori ale constrîngerilor au permis dezvoltarea mai multor metode de rezolvare specifice claselor de probleme următoare: liniare, neliniare, geometrice ori pătratice (quadratic). Vom reveni în detaliu asupra specificului fiecărui tip de problemă enunţată în capitolele următoare.

-optimizarea liniară (programarea liniară): cînd funţia obiectiv şi toate constrîngerile sunt de tip liniar.

- optimizarea pătratică (programare pătratică): dacă funţia obiectiv este de tip pătratic iar toate constrîngerile sunt de tip liniar. Metodele de rezolvare permit extinderea celor elaborate pentru optimizarea liniară.

- optimizarea neliniară (programarea neliniară): unde una sau mai multe restricţii, constrîngeri sunt de tip neliniar