Metode Numerice

Curs
9/10 (4 voturi)
Domeniu: Electrotehnică
Conține 1 fișier: pdf
Pagini : 42 în total
Cuvinte : 8773
Mărime: 339.72KB (arhivat)
Cost: Gratis
Profesor îndrumător / Prezentat Profesorului: Marilena Popa, Romulus Militaru

Extras din document

1. REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE

Introducere. Rezolvarea sistemelor algebrice liniare şi operaţiile de calcul matriceal (evaluarea determinanţilor, inversarea matriceală, calculul valorilor şi vectorilor proprii) sunt incluse în domeniul algebrei liniare – implicată în diverse probleme ştiinţifice, de exemplu:

– problemele care depind de un număr finit de grade de libertate, reprezentate prin ecuaţii diferenţiale ordinare sau cu derivate parţiale sunt transformate, cu ajutorul diferenţelor finite, în sisteme de ecuaţii liniare;

– problemele neliniare sunt frecvent soluţionate (aproximate) prin procese de liniarizare;

– programarea liniară implică rezolvarea unor sisteme de ecuaţii algebrice liniare;

– foarte multe probleme inginereşti din domeniul reţelelor electrice, analiza structurilor, proiectarea clădirilor, vapoarelor, avioanelor, transportul lichidelor şi gazelor prin conducte etc. necesită, pentru soluţionare, rezolvarea unor sisteme liniare.

Formularea problemei. Fie A ∈ Rnxn (o matrice reală cu n linii şi n coloane), b ∈ Rn (un vector – matrice coloană – cu n componente reale) şi vectorul necunoscut x ∈ Rn. Atunci un sistem de ecuaţii liniare se scrie sub una din formele:

⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++nnnn22n11n1nn1212111bxa...xaxa.................................................bxa...xaxa

sau matriceal: Ax = b sub formă compactă şi

⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nn2n1nn22221n11211a...aa............a...aaa...aa (1) ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛n21n21bbbxxxMM

sub formă dezvoltată.

O ultimă variantă de scriere a unui sistem liniar este:

Σ==n1jijijbxa, i = 1, 2, ..., n

Observaţii.

1. Un sistem liniar (1) este consistent dacă are cel puţin o soluţie şi inconsistent dacă nu are nici o soluţie. Orice sistem liniar considerat în continuare poate avea soluţie unică (compatibil determinat), nici o soluţie (incompatibil) sau o infinitate de soluţii (compatibil nedeterminat) – nu există alte posibilităţi. Bineînţeles că interesează primul caz.

2. Sistemele (1) se pot clasifica şi după vectorul b, în:

a) sisteme omogene – dacă b = 0. Orice sistem omogen de forma Ax = 0 este un sistem consistent (deoarece are soluţia x = 0 – neinteresantă). Un sistem omogen are o soluţie nebanală dacă şi numai dacă det A = 0 (adică A este singulară). În această situaţie soluţia depinde de cel puţin un parametru.

b) sisteme neomogene – dacă b ≠ 0. Sistemul (1) este compatibil determinat pentru )(∀ b ≠ 0 dacă şi numai dacă sistemul omogen Ax=0 nu are decât soluţia banală (adică A este nesingulară).

3. În sistemele obţinute din aplicaţiile fizice, numerele ce constituie matricea A şi vectorul b sunt afectate de erori inerente (provenite din măsurători) sau erori de rotunjire (1/7 nu poate fi reprezentat exact pe nici un calculator electronic – care are lungime fixă a cuvântului – deoarece reprezentarea lui în binar are o infinitate de biţi). Dacă erorile mici în cadrul coeficienţilor lui A şi b, sau în procesul de calcul au un efect redus asupra vectorului, soluţie, un astfel de sistem este bine condiţionat, iar dacă efectul este considerabil, un astfel de sistem este slab condiţionat.

Metodele numerice de rezolvare a sistemului liniar (1) sunt de două tipuri: directe şi iterative.

Rezolvarea directă a sistemelor de ecuaţii liniare

Metodele directe constau în reducerea sistemului (1), într-un număr finit de etape, la un sistem echivalent, (cu aceeaşi soluţie) direct rezolvabil – prin substituţie directă sau inversă.

Aceste metode furnizează soluţia exactă x a sistemului (1) în cazurile (ideale) în care erorile de rotunjire sunt absente şi necesită, în

acest scop, efectuarea unui număr de operaţii aritmetice elementare de ordinul n3.

Din acest motiv, metodele directe se utilizează pentru rezolvarea sistemelor „uzuale“, de dimensiune n ≤ 100.

În continuare vom prezenta câteva metode directe de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare.

Preview document

Metode Numerice - Pagina 1
Metode Numerice - Pagina 2
Metode Numerice - Pagina 3
Metode Numerice - Pagina 4
Metode Numerice - Pagina 5
Metode Numerice - Pagina 6
Metode Numerice - Pagina 7
Metode Numerice - Pagina 8
Metode Numerice - Pagina 9
Metode Numerice - Pagina 10
Metode Numerice - Pagina 11
Metode Numerice - Pagina 12
Metode Numerice - Pagina 13
Metode Numerice - Pagina 14
Metode Numerice - Pagina 15
Metode Numerice - Pagina 16
Metode Numerice - Pagina 17
Metode Numerice - Pagina 18
Metode Numerice - Pagina 19
Metode Numerice - Pagina 20
Metode Numerice - Pagina 21
Metode Numerice - Pagina 22
Metode Numerice - Pagina 23
Metode Numerice - Pagina 24
Metode Numerice - Pagina 25
Metode Numerice - Pagina 26
Metode Numerice - Pagina 27
Metode Numerice - Pagina 28
Metode Numerice - Pagina 29
Metode Numerice - Pagina 30
Metode Numerice - Pagina 31
Metode Numerice - Pagina 32
Metode Numerice - Pagina 33
Metode Numerice - Pagina 34
Metode Numerice - Pagina 35
Metode Numerice - Pagina 36
Metode Numerice - Pagina 37
Metode Numerice - Pagina 38
Metode Numerice - Pagina 39
Metode Numerice - Pagina 40
Metode Numerice - Pagina 41
Metode Numerice - Pagina 42

Conținut arhivă zip

  • Metode Numerice.pdf

Alții au mai descărcat și

TSRA

1)Sist abstract,sist orientat.Exemple. Pt precizarea unui sist fizic este necesar delimitarea unui interior si a unui exterior,legatura dintre...

Fituici de la Echipamente Electrice 2

Aparate de comutatie in vid avansat Presiunea in cam de stingere In acord cu legea lui Paschen, presiunea in camera de stingere este de ordinul...

Studiul Antenelor Simetrice și Nesimetrice

Dipolul simetric se compune din douã conductoare simetrice situate de-a lungul unei axe la distantã relativ micã între ele (fig. 3.1). La capetele...

Antene Speciale

4.1. Antena canal de undã 4.1.1. Prezentarea antenei Datoritã avantajelor pe care le prezintã, antenele canal de undã au cãpãtat o largã...

Structura și Clasificarea Undelor Electromagnetice

Undele electromagnetice a cãror frecventa este cuprinsa între limitele 10-3 Hz si 1016 Hz se numesc unde radio. Aceste limite pot fi exprimate si...

Comunicatii de Date - Curs VII

INTRODUCERE ÎN COMUNICATII DE DATE: SCHEMA BLOC A SISTEMULUI DE COMUNICATII DE DATE, DESCRIERE, FUNCTIILE ELEMENTELOR, EXPLICAREA FUNCTIONARII PE...

Fibre Optice

Propagarea luminii în fibra optica Legile optice permit descrierea reflexiei totale la suprafata de separatie dintre miez-învelis a fibrei...

Rețele de Comunicații

Reteaua în arbore (retea radiala) Centrele de comutatie C sunt interconectate într-un sistem arbore cu mai multe nivele (fig. 5.3.). Se observa...

Te-ar putea interesa și

Matematici Asistate de Calculator

REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Consideratii teoretice generale Un sistem de „m” ecuaţii liniare cu „n” necunoscute este de forma: a11...

Modelarea Numerica a Amestecurilor Dielectrice

Introducere Actualitatea şi importanţa temei Multe dintre materialele folosite la ora actuală ca izolanţi electrici sunt amestecuri dielectrice...

Metode Numerice

Introducere In aceasta etapa a dezvoltării matematicii, analiza numerica ocupa un loc foarte important in cadrul matematicilor aplicative....

Metoda Baleiajului Ortogonal Diferential pentru Rezolvarea Ecuatiilor Diferentiale Ordinare

Motto O lucrare trebuie să fie precum fusta unei femei: nu prea lungă, ca să nu plictisească, dar suficient de scurtă ca să atragă atenţia....

Lucrari Metode Numerice

1). Într-un punct al unui corp solicitat se cunoaşte tensorul tensiunilor: Se cere: - sa se calculeze tensiunile principale din punct, rezolvând...

Metode Numerice

LABORATOR NR.1 COMPLEXITATEA ALGORITMILOR NUMERICI 1. Elemente teoretice : Calitatea unui algoritm este apreciată prin eficienţa sa spaţială...

Curs - Metode Numerice și Programe de Calcul al Structurilor

1. Noţiuni de teoria elasticităţii 1.1 Ecuaţii de bază În foarte multe domenii ale ştiinţei şi tehnicii, utilizarea unor instalaţii, utilaje şi...

Metode Numerice

Introducere Ultimele decenii au fost marcate de progresul mijloacelor de calcul. Asistăm la o competiţie între dezvoltarea tehnologică şi...

Ai nevoie de altceva?