Proiectarea Filtrelor Digitale cu Răspuns Infinit la Impuls

Filtrele digitale cu răspuns infinit la impuls (RII), ce vor fi denumite

în continuare filtre IIR (Infinite Impulse Response), constituie blocuri

importante în multe sisteme de prelucrare numerică a semnalelor. Ele sunt

recomandate în situaţiile în care trebuie realizate benzi de tranziţie foarte

înguste, precum şi atunci când sunt necesare atenuări foarte mari în banda

de oprire. Deoarece prezintă reacţie, filtrele IIR necesită mai puţine celule

de întârziere, preţul plătit fiind neliniaritatea fazei şi eventuale probleme

de stabilitate.

3.1. Introducere

Un filtru IIR poate fi caracterizat în domeniul timp prin ecuaţia cu

diferenţe

[ ] Σ [ ] Σ [ ]

= =

= − − + −

M

k

k

N

k

k y n a y n k b x n k

1 0

(3.1)

Aplicând transformată Z ecuaţiei (3.1), rezultă

( ) ( ) ( )

1 0

Y z a z Y z b z k X z

M

k

k

N

k

k

k

−

= =

= −Σ − +Σ (3.2)

Funcţia de transfer a filtrului este

( )

( )

1

( )

1

0

A z

B z

a z

b z

H z N

k

k

k

M

k

k

k

=

+

=

Σ

Σ

=

−

=

−

(3.3)

Impunând în relaţia (3.1) intrarea x[n] =δ [n], se obţine răspunsul

la impuls al filtrului IIR cauzal

128

[ ]

  



  





<

− − >

− − ∈

= Σ

Σ

=

=

0, 0

[ ],

[ ], [0, ]

1

1

n

a h n k n M

b a h n k n M

h n

N

k

k

N

k

n k

(3.4)

În continuare filtrele vor fi considerate stabile, adică răspunsul lor

la impus este absolut sumabil [63]

Σ∞

=

< ∞

0

[ ]

n

h n (3.5)

condiţie care, în planul Z conduce la necesitatea ca cercul unitate să fie

inclus în domeniul de convergenţă. Dacă se impune şi condiţia de

cauzalitate pentru filtru, care, în domeniul Z conduce la necesitatea ca

regiunea de convergenţă să fie exteriorul unui cerc, rezultă că toţi polii

filtrului cauzal şi stabil se situează în interiorul cercului unitate.

Răspunsul la impuls al filtrului poate fi calculat şi ca transformata Z

inversă a funcţiei de sistem [63]

∫ = − = −

C

H z z n dz

j

h n Z 1 H z ( ) 1

2

[ ] { ( )} 1

π

(3.6)

unde C este un contur închis în planul complex, parcurs în sens orar, care

conţine originea.

Prin evaluarea funcţiei de transfer H(z) pe cercul unitate, se obţine

răspunsul în frecvenţă al filtrului

( )

1

0 ( )

1

( ) θ ω

ω

ω

ω ω j

N

k

jk

k

M

k

jk

k

H e

a e

b e

H =

+

=

Σ

Σ

=

−

=

−

(3.7)

Răspunsul de modul al filtrului este

, 1

( )

( )

( ) 0 = a =

A

B

H

ω

ω

ω (3.8)

Aşa cum a fost prezentat în Capitolul 1, polii funcţiei de transfer vor

determina maxime ale răspunsului în frecvenţă, cu atât mai pronunţate, cu

cât se află mai aproape de cercul unitate, iar zerourile vor determina

minime, eventual anulări ale răspunsului în frecvenţă, dacă se află pe

129

cercul unitate. Ca urmare, filtrele IIR permit realizarea unor maxime

ascuţite, benzi de trecere foarte înguste şi, la fel, benzi de tranziţie foarte

înguste. Asemenea performanţe s-ar putea realiza şi cu filtre FIR, dar cu

preţul unor lungimi foarte mari.