Ansamblul Statistic

Discuţiile purtate mai sus s-au făcut pentru un anumit moment t, ca urmare şi densitatea de probabilitate a fost definită numai la un moment bine determinat.Dacă starea sistemului se schimbă după un anumit interval de timp, trebuie văzut cum se modifică în timp densitatea de probabilitate (x,t).

Teorema lui Liouville dă rpăspuns la această întrebare şi se enunţă astfel:

Densitatea de probabilitate rămâne constantă de-a lungul traiectoriei de fază.

Densitatea de probabilitate este o integrală primă a mişcării

Expresia matematică a acestei teoreme este:

(x,t)= (x,0)

Prima relaţie reprezintă forma globală , iar ce-a de-a doua forma locală a teoremei enunţate.

Teorema lui Liouville exprimă clar determinismul evoluţiei densităţii de probabilitate (stării statistice) după diagrama asemănătoare din mecanica clasică.

hamiltoniana

(x,o)-------------------------- (x,t)

Ecuaţia Liouville

În continuare vom face o demonstraţie intuitivă a aceastei teoreme. Pentru aceasta se va porni de la definiţia densităţii de probabilitate ce ajutorul ansamblului de puncte reprezentative.

Fie un domeniu D(t) definit de toate punctele reprezentative în care ar ajunge sistemul la momentul t dacă ar pleca toate punctele iniţiale din D.

D(t)= {P(x,t)=Pt}

Cele N(D) puncte reprezentative iniţiale din D nu pot părăsi domeniul în cursul evoluţiei, deoarece părăsirea domeniului ar echivala cu intersecţia (la acelaşi moment) a câte două traiectorii care pleacă din puncte reprezentative distincte şi anume, a traiectoriei unui punct reprezentativ iniţial din interiorul domeniului D şi a traiectoriei unui punct iniţial de pe frontiera lui D.

Asemenea comportare vine în contradicţie cu afirmaţia că pentru orice stare iniţială din D, soluţia ecuaţiilor de evoluţie este unică bine determinată.

N(D)=N(Dt)

Pe de altă parte se poate demonstra că volumul din spaţiul fazelor este invariant în raport cu evoluţia, adică volumele domeniilor D şi Dt sunt egale deşi, în general forma domeniilor se modifică în timpul evoluţiei.

(D)=(Dt)

Ţinând seamă de afirmaţiile de mai sus , forma globală a teoremei lui Liouville este demonstrată.

Observaţie: Notăm cu N densitatea de distribuţie a punctelor reprezentative din domeniul D la un moment dat şi  densitatea de probabilitate, dacă aceste mărimi mu depind de timp ,adică avem o distribuţie staţionară a punctelor reprezentative în spaţiul fazelor se pot scrie relaţiile:

care exprimă matematic regimul staţionar de deplasare a colectivului de puncte reprezentative în spaţiul fazelor, regim care caracterizează echilibrul static.