Distribuția canonică, distribuția Maxwell

1.0.1 NumØar de stØari

O microstare, ce caracterizeazØa un sistem din ansamblul statistic la un moment t,

este reprezentatØa Æ1n spat¸iul fazelor printr-un punct, (q1, ..., qf , p1, ..., pf ). Fie elementul

de volum d  dq1...dqfdp1...dpf  dqdp. Trecerea de la un punct la altul Æ1n spat¸iul

fazelor se face continuu. ÆIn multe cazuri, mai intuitiv este modul discret de a contabiliza

stØarile (acest lucru a fost introdus chiar de Boltzmann, printr-o Æ1mpØart¸ire artificialØa a

spat¸iului fazelor Æ1n celule, iar Æ1n mecanica cuanticØa, unde energia este cuantificatØa, acest

lucru este impus Æ1n mod fundamental).

SØa considerØam cØa nu se pot distinge douØa stØari suficient de apropiate din spat¸iul

fazelor. ÆIn mecanica clasicØa aceasta se poate datora impreciziei aparatelor de mØasurØa, ce

duce la cunoa¸stere imprecisØa a coordonatelor si impulsurilor (de¸si, Æ1n principiu, acestea

pot fi cunoscute cu o precizie oricÆat de bunØa, perfect¸ionÆand instrumentele de mØasurØa).

Astfel, unei microstØari Æ1i corespunde Æ1n spat¸iul fazelor nu un punct, ci o celulØa de volum

hf , unde h este o constantØa care dØa imprecizia Æ1n mØasurarea produsului q · p pentru o

particulØa (pentru un grad de libertate). ÆIn cazul mØasurØatorilor ideale h ! 0. ÆIn mecanica

cuanticØa q ¸si p nu pot fi mØasurat¸i simultan cu o precizie mai bunØa decÆat o cantitate de

ordinul constantei Planck, astfel cØa h va fi constanta Planck dacØa vom considera descrierea

cuanticØa a mi¸scØarii particulelor ce compun sistemul.

Vom considera h o constantØa neprecizatØa (pentru mØasurØatori ideale, Æ1n cazul mecanicii

clasice, h ! 0). hf reprezintØa volumul din spat¸iul fazelor ce corespunde unei microstØari.

dW = d

hf reprezintØa numØarul de microstØari din elementul de volum d = dqdp din spat¸iul

fazelor.

Se poate adopta un limbaj corespunzØator unei realitØat¸i discrete (numØar de microstØari,

probabilitatea unei microstØari). Atunci, integralele din spat¸iul fazelor corespund unor

sumØari pe microstØarile sistemului:

integrala pe un domeniu

corespunde sumei integrandului pe toate microstØarile sistemului.

Fie probabilitatea dP de a gØasi punctul reprezentativ din spat¸iul fazelor Æ1n elementul

d, dP = (q, p) d

hf , unde (q, p) este funct¸ia de distribut¸ie. ÆIn limbajul discret, (qi, pi),

unde (qi, pi) 2 d, are semnificat¸ia de probabilitatea Pi de a gØasi un sistem din ansamblul

statistic Æ1ntr-o microstare din d. Fie o funct¸ie oarecare f(q, p). Definit¸iile urmØatoare ale

mediilor sunt concordante,

d? reprezintØa volumul din spat¸iul

fazelor din interiorul hipersuprafet¸ei corespunzØatoare energiei E. ÆIn limbajul Æ1n care

folosim mØarimi discrete, W

(E, a) =

R

H(q,p;a)E

d

hf =

(E,a)

hf reprezintØa numØarul de microst

Øari cu energia sistemului mai micØa decÆat E.

SØa Æ1mpØart¸im intervalul valorilor energiei Æ1n intervale E (de mØarime foarte micØa pentru

a putea considera mØarimile constante Æ1n intervalul E, dar suficient de mare pentru a

avea multe microstØari Æ1n acest interval). Vom defini W(E, E; a), numØarul de microstØari

cu energia Æ1n intervalul (E,E + E).

NumØarul stØarilor W(E, E; a) este o funct¸ie extrem de rapid crescØatoare cu energia E,

pentru sisteme denumite normale (care sunt uzuale)(pentru aceste sisteme numØarul de

microstØari  (E  E0)f , unde f este numØarul gradelor de libertate, iar E0 este o constant

Øa). Pentru un asemenea sistem se poate arØata cØa lnW(E, E; a) este independent de

valoarea intervalului E, pentru f mare (comportamentul acestei funct¸ii este determinat

de un termen proport¸ional cu f, independent de E). AceastØa funct¸ie este legatØa de o

mØarime fizicØa importantØa, a¸sa cum vom vedea mai tÆarziu.

1.0.2 Distribut¸ia energiei Æ1ntre sisteme macroscopice

Fie A ¸si A0 douØa sisteme macroscopice astfel cØa sistemul compus A0 = A + A0 este

izolat. Presupunem cØa A ¸si A0 au parametrii externi fixat¸i astfel cØa sistemele nu schimbØa

lucru mecanic, dar pot schimba energie prin transfer de cØaldurØa. Fie E energia lui A, iar

E0 energia lui A0. Energia totalØa a sistemului este E0 = E+E0. Pentru un E dat, energia

lui A0 este fixatØa, E0 = E0  E.

Fie W(E, E; a1) numØarul de microstØari ale A cu energia Æ1n intervalul (E,E + E),

iar W0(E0, E; a2) numØarul de microstØari ale A0 cu energia Æ1n intervalul (E0,E0 + E).

Fie W0

tot numØarul total de stØari accesibile lui A0 (care are energia fixatØa). A0 fiind

un sistem izolat, toate stØarile ce corespund energiei E0 sunt egal probabile, la echilibru

termodinamic.

Definim probabilitatea termodinamicØa a unei stØari macroscopice ca fiind numØarul de

stØari microscopice asociat acelei stØari. Care este probabilitatea P(E) a unei stØari Æ1n care

sistemul A are energia E? NotÆand W0(E) numØarul de stØari ale sistemului total astfel ca