Fizică

11.35. Deduceti expresia intensitatii undei electromagnetice corespunzatoare difractiei Fraunhofer(in lumina paralela) printr-o deschidere dreptunghiulara.

a) Alegem originea O la una dintre marginile deschiderii dreptunghiulare, iar axa Ox perpendiculara pe laturile lungi ale deschiderii.

Consideram o fasie diferentiala (de grosime dx) a fantei, paralela cu laturile lungi ale acesteia, la distanta.x de origine (v. fig. III.35Ra). Deoarece raza difractata care trece prin originea prezinta diferenta de drum (geometric):

Fata de raza difractata care trece prin punctul M al fâsiei considerate, oscilatiile câmpului electric al undei difractate în M sunt defazate cu

Fata de oscilatiile undei difractate trecand prin origine ( este vectorul de unda). Rezulta urmatoarea expresia a contributiei elementului de fanta de largime dx la intensitatea campului electric difractat sub unghiul ±:

unde:

Intensitatea campului electric al undei difractate(sub unghiul ± fata de b) de intreaga fanta reiese ca fiind:

Notand:

Unde

este amplitudinea intensitatii câmpului electric difraetal sub unghiul ±. Deoarece intensitatea unei unde este exprimata prin amplitudinea E0 a intensitatii câmpului electric prin relatia:

(unde ¾ este impedanta electromagnetica a mediului), intensitatea undei difractate sub unghiul ± fata de latimea b a fantei dreptunghiulare va fi:

Deoarece: rezulta ca intesitatea

undei difractate sub un unghi egal cu cel de incidenta ±= ±0 este:

în final, gasim ca intensitatea I (± poate fi exprimata prin intensitatea I(±0) corespunzând unui unghi de difractie egal cu cel de incidenta: ±= ±0 prin relatia:

Functia:

prezinta (vezi fig. III. 35Rb) un maxim absolut (egal cu 1) pentru ¶ = 0 si minime nule în punctele ¶ = nÀ (n - întreg diferit de zero).

Extremele aceleasi functii pot fi aflate din conditia:

de unde:

Cu exceptia unei valori (“banale”) ¶ = 0, solutiile transcendente ¶ = tg ¶ pot fi aflate prin aproximatii succesive sau metode grafice. Utilizarea metodei grafice arata (v. fig. III.35Rc) ca modulele solutiilor satisfac aproximativ relatiile:

unde n=1,2,…

Rezulta ca intensitatile maximelor secundare sunt date de relatia (aproximativa):

In particular, reiese ca intensitatea primului maxim secundar este aproximativ 0,0445 Id(±0), a celui de al doilea maxim secundar este aproximativ 1.6% din intensitatea maximului central (absolut), s.a.m.d.

b) Pentru ±0=À/2 avem cos ±0 = 0, ceea ce face ca parametrul

Conform celor de mai sus, pentru primul minim nul:

Notând prin ¸min.1 unghiul format de fasciculul difractat (corespunzând primului minim nul) situat în'planul? j^rjîendicular pe laturile lungi ale deschiderii dreptunghiulare cu normala pe planul deschiderii, avem:

III.36. Deduceti expresia intensitatii undei electromagnetice corespunzatoare difractiei Fraunhofer(in lumina paralela) printr-o retea de difractie unidimensionala.

Deoarece diferenta de drum(geometric) dintre punctele similare A1, A2, ale unor fante succesive ale retelei este:

oscilatiile campului electric al celei de a doua fante vor fi defazate cu:

in raport cu oscilatiilee campului electric al primei fante. Rezulta ca – daca reteua poseda N fante, iar intensitatea campului electric difractat in directia formand unghiul ± cu perioada d a retelei este:

intensitatile campurilor electrice E2, …, Ek,… EN coresponzand fascicolelor difractate dea doua fanta,… de cea de “k” fanta,… respectiv de ultima fanta(a N-a) sunt:

Reiese ca intensitatea campului electric rezultat prin suprapunerea (in planul focal al lentilei convergente; vezi fig. III. 28R) a celor N fascicole difractate este: