Formalismul Lagrange

A) Funcţia Lagrange

Principiul lui Hamilton introduce o funcţie de stare numită funcţia lui Lagrange, care depinde de coordonate generalizate, viteze generalizate şi timp. Pentru a înţelege semnificaţia fizică a funcţiei L considerăm un corp care se deplasează liber în câmpul gravitaţional al pământului, între punctele A şi B pe două drumuri posibile 1a2 şi 1b2. Dacă se calculează în fiecare moment diferenţa dintre energia cinetică şi cea potenţială a corpului şi se integrează în funcţie de timp între momentele t1 şi t2 se constată că aceasta are valoarea mai mare pe drumul al doilea decât pe primul.

Deoarece corpul lăsat liber în punctul a traiectoria sa reală este a1b, pentru care integrala are valoarea cea mai mică. Notăm cu S expresia integrală şi o numim acţiune:

comparând cu principiul minimei acţiuni

putem spune că funcţia lui Lagrange este definită prin relaţia

L=Ec-U

B) Proprietăţile funcţiei Lagrange

Proprietăţile funcţiei Lagrange sunt următoarele:

- În cazul unui sistem mecanic format din două părţi (A) şi (B) având funcţiile Lagrange LA şi LB suficient de îndepărtate încât interacţiunea dintre ele să fie neglijabilă, funcţia Lagrange a sistemului A+B va tinde către

L= LA+LB

Ecuaţiile de mişcare ale lui Lagrange ale fiecăruia din părţile sistemului nu interacţionează cu celelalte, neputând să conţină mărimi care se raportează la celelalte părţi ale sistemului.

- Multiplicarea funcţiei Lagrange a unui sistem mecanic printr-o constantă arbitrară nu influenţează asupra ecuaţiilor de mişcare, dar introduce o nedeterminare. Proprietatea de aditivitate a funcţiei Lagrange elimină această nedeterminare, ea neadmiţând decât multiplicarea simultană a funcţiilor Lagrange ale tuturor sistemelor prin aceeaşi constantă, ceea ce nu introduce decât un arbitrarul în alegerea unităţilor de măsură ale acestei mărimi fizice.

- Considerând două funcţii Lagrange, L şi L1 alese astfel încât:

adică, cele două acţiuni diferă una de alta printr-un termen suplimentar, care dispare când acestea variază . Cu alte cuvinte forma ecuaţiilor de mişcare rămâne neschimbată, deci, funcţia Lagrange nu este determinată decât până la derivata totală a unei funcţii oarecare de coordonate şi de timp.

C) Ecuaţiile de mişcare ale lui Lagrange

Din principiul lui Hamilton se deduc ecuaţiile lui Lagrange, pornind de la relaţia: