Mecanică Cuantică

A. Breviar teoretic

1.Postulatele mecanicii cuantice

1.1 Postulatul stării

Starea fizică a unei microparticule este descrisă de funcţia de undă .Această funcţie de undă aparţine unui spaţiu Hilbert şi satisface condiţiei de normare.

(XII.1)

1.2 Postulatul observabilelor

Unei observabile A îi corespunde un operator hermitic care satisface ecuaţia cu valori proprii:

(XII.2)

În relaţia (XII.2) a reprezintă valorile proprii, adică valorile posibile măsurate ale observabilei A; Ψ sunt funcţiile proprii asociate valorilor proprii şi reprezintă starea fizică a microparticulei caracterizate de observabila A.

Principalii operatori hermitici sunt:

operatorii de poziţie

(XII.3)

operatorii componente ale impulsului pe axele Ox, Oy, Oz şi respectiv operatorul vectorului impuls

(XII.4)

operatorii componente ale momentului cinetic , şi respectiv, operatorul pătratul momentului cinetic

(XII.5)

unde reprezintă laplaceianul unghiular (în coordonate sferice)

operatorul energie

(XII.6)

Comutatorul a doi operatori hermitici este definit prin:

(XII.7)

Următoarea proprietate remarcabilă este satisfăcută:

Dacă două observabile sunt măsurate sinmultan, operatorii hermitici asociaţi acestor observabile vor comuta între ei.

1.3 Postulatul evoluţiei temporale

Funcţia de undă care descrie starea unui sistem cuantic satisface ecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul 1 în raport cu timpul, denumită ecuaţia Schrödinger temporală:

(XII.8)

În cazul stărilor staţionare funcţia de undă are forma:

(XII.9)

Funcţia de undă spaţială Φ(x,y,z) satisface în acest caz ecuaţia Schrödinger temporală :

(XII.10)

În cazul unidimensional , , ecuaţia Schrödinger atemporală devine:

(XII.11)

Funcţia de undă spaţială Φ(x,y,z), respectiv Φ(x), satisface condiţia de normare,adică:

(XII.12)

sau

(XII.13)

şi condiţia de regularitate. Acestea sunt următoarele:

- condiţia de mărginire : Φ trebuie să fie finită în tot spaţiul

- condiţia de uniformitate: Φ trebuie să aibă o singură valoare pentru o anumită valoare a variabilei

- condiţia de continuitate: Φ şi derivata sa de ordinul unu trebuie să fie continue în orice punct din spaţiu şi , în particular, în punctele de discontinuitate ale energiei potenţiale U.

Ecuaţia de continuitate în fizica cuantică

are forma:

(XII.14)

unde

(XII.15)

reprezintă densitatea de curent de probabilitate de localizare a microparticulei într-o anumită regiune din spaţiu,

iar P (XII.16)

reprezintă densitatea de probabilitate de localizare a microparticulei în regiunea din spaţiu specificată.

1.4 Postulatul interpretării statistice

Densitatea de probabilitate de localizare a unui sistem cuantic (microparticulă) este reprezentată prin relaţia (XII.16).

Se consideră un sistem cuantic descris prin funcţia de undă Ψ.Valoarea medie a rezultatelor posibile , care sunt obţinute prin măsurarea observabilei A, este:

(XII.17)