Oscilații Mecanice

CURS NR.2

II. OSCILAŢII MECANICE

II.1. NOŢIUNI GENERALE

În natură şi tehnică se întâlnesc adesea corpuri sau sisteme ale căror stări de mişcare se

repetă regulat după o anumită durată de timp. O astfel de mişcare care se repetă la intervale egale de

timp se numeşte mişcare periodică. Mişcarea periodică care este simetrică faţă de poziţia de

echilibru poartă numele de mişcare oscilatorie. Deplasarea particulei (corpului) în mişcarea

periodică poate fi exprimată prin funcţiile armonice sinus şi cosinus. Oscilaţiile care decurg în timp

după legea sinusului sau cosinusului se numesc oscilaţii armonice. Oscilaţia se numeşte liniară,

dacă ecuaţia diferenţială a mişcării este liniară .

Cele mai importante proprietăţi ale oscilaţiilor armonice sunt:

- frecvenţa oscilaţiilor nu depinde de amplitudine;

- efectul total dat de acţiunea mai multor forţe poate fi obţinut prin sumarea efectelor date de fiecare

forţă în parte (principiul superpoziţiei).

Pentru oscilaţiile periodice este satisfăcută condiţia:

f t f t T , (1)

unde T este perioada, adică intervalul de timp necesar pentru efectuarea unei oscilaţii complete,

sau timpul după care parametrii ce definesc mişcarea trec prin aceleaşi valori.

Frecvenţa mişcării este mărimea fizică scalară egală cu numărul de oscilaţii complete

efectuate în unitatea de timp. Relaţia dintre frecvenţa şi perioada T se scrie astfel:

T

1 (2)

Perioada are ca unitate de măsură în S.I. T s SI 1 , iar frecvenţa 1s 1 SI sau Hz .

Pulsaţia mişcării oscilatorii periodice se exprimă prin relaţia:

2 2

T

, (3)

şi are ca unitate de măsură în SI rad s SI 1 .

Elongaţia x reprezintă distanţa mobilului la un moment dat faţă de poziţia de echilibru, iar

elongaţia maximă poartă numele de amplitudine A . Ambele au ca unitate de măsură în SI

x m SI 1 .

2

II.2. MIŞCAREA OSCILATORIE ARMONICĂ

Considerăm un punct material de masă m care se deplasează de-a lungul axei Ox sub

acţiunea unei forţe elastice. Mişcarea punctului material asupra căruia acţionează numai forţe

elastice se numeşte mişcare oscilatorie armonică, iar corpul care efectuează astfel de oscilaţii

poartă numele de oscilator armonic liniar.

Aplicând principiul al II-lea al dinamicii, se obţine:

kx

dt

ma Fe m d x 2

2

, (4)

sau

0 2

2

kx

dt

m d x , (5)

relaţie care reprezintă ecuaţia diferenţială a mişcării oscilatorii armonice.

Dacă se împarte relaţia (5) prin m şi se notează

2

m

k , (6)

ecuaţia (5) devine:

2 0

2

2

x

dt

d x sau 2 0

x x . (7)

Aceasta este o ecuaţie diferenţială liniară şi omogenă de ordinul al doilea, care are ecuaţia

caracteristică:

2 2 0 ,

cu soluţia

i 1,2 .

Astfel, soluţia ecuaţiei diferenţiale (4.7) este de forma:

X C ei t C e i t 1 2 ,

care, ţinând seama de relaţia:

ei t cos t  i sin t ,

devine:

X C C cos t i C C sin t 1 2 1 2 .

Făcând substituţia:

1 2

1 2

0 C C

ctg i C C

legea mişcării oscilatorului armonic liniar se scrie sub forma:

3

x Asin t 0 , (8)

unde x reprezintă elongaţia mişcării sau coordonata momentană a oscilatorului faţă de poziţia de

echilibru, A reprezintă amplitudinea mişcării oscilatorii (sau elongaţia maximă), iar

0 t (9)