Oscilații și unde mecanice

1.1.1 Oscilatorul armonic liniar

Cele mai simple oscialat¸ii, oscilat¸iile sinusoidale, au un rol fundamental deoarece orice

oscilat¸ie poate fi descompus˘a ˆıntr-o sum˘a de oscilat¸ii sinusoidale (teorema Fourier).

Consider˘am un corp de mas˘a m care se mi¸sc˘a f˘ar˘a frecare ˆın lungul axei x sub act¸iunea

fort¸ei elastice din resort, F = −kx, unde k este constanta elastic˘a a resortului (v. fig.).

Aplicˆand legea a doua a dinamicii corpului de mas˘a m, se poate scrie

m

d2x

dx2 = −kx (1.1)

Not˘am

!2

0 =

k

m

. (1.2)

Noˆand d2x

dt2  ¨x, ecuat¸ia se scrie

¨x + !2

0x = 0. (1.3)

Aceasta este o ecuat¸ie liniar˘a omogen˘a de ordinul 2 cu coeficient¸i constant¸i. C˘aut˘am

dou˘a solut¸ii liniar independente de forma x = et. Rezult˘a c˘a  trebuie s˘a fie 2 = −!2

0,

 = ±i!0. Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene poate fi scris˘a sub oricare din formele

˜x = A1ei!0t + A2e−i!0t,

x = C1 cos !0t + C2 sin !0t,

x = Acos(!0t + '0). (1.4)

Vom folosi forma (1.4) a solut¸iei. Constantele A ¸si '0 sunt complet determinate de

condit¸iile init¸iale, x(0) = x0; v(0) = v0. Constanta A este amplitudinea mi¸sc˘arii oscilatorii

(dep˘artarea maxim˘a fat¸˘a de pozit¸ia de echilibru), '(t) = !0t+'0 reprezint˘a faza mi¸sc˘arii

oscilatorii la momentul t, iar '0 reprezint˘a faza init¸ial˘a a mi¸sc˘arii oscilatorii. Mi¸scarea

este periodic˘a, cu perioada

T =

2

!0

= 2

r

m

k

sau frecvent¸a

 =

1

T

=

!0

2

.

1

Derivˆand, se obt¸ine expresia vitezei,

v = −!0Asin(!0t + '0)

sau accelerat¸ia

a = −!2

0Acos(!0t + '0) = −!2

0x.

Energia oscilatorului armonic:

Energia potent¸ial˘a este

U(x) =

kx2

2

,

astfel c˘a energia total˘a este

E = T + U =

1

2

m!2

0A2 sin2(!0t + '0) +

1

2

m!2

0A2 cos2(!0t + '0),

E =

1

2

m!2

0A2 =

1

2

kA2.

Energia total˘a se conserv˘a ¸si este proport¸ional˘a cu p˘atratul amplitudinii ¸si frecvent¸ei.

1.1.2 Oscilat¸ii amortizate

Presupunem c˘a mi¸scarea corpului din sect¸iunea anterioar˘a se face ¸si ˆın prezent¸a unui

mediu vˆascos, astfel c˘a asupra corpului act¸ioneaz˘a ¸si o fort¸˘a de frecare proprt¸ional˘a cu

viteza,

Fr = −x˙ .

Constanta poart˘a numele de coeficient de rezistent¸˘a ¸si are unitatea de m˘asur˘a ˆın SI,

< >SI= Ns

m = Kg

s .

Ecuat¸ia de mi¸scare se scrie ˆın acest caz,

¨x +

m

x˙ + !2

0x = 0.

Not˘am

- =

2m

; !2

0 =

k

m

.

- se nume¸ste coeficient de amortizare (< - >SI= s−1). C˘aut˘am dou˘a solut¸ii liniar

independente de forma x(t) = exp t.  satisface ecuat¸ia caracteristic˘a,

2 + 2 + !2

0 = 0,

cu solut¸iile

 = −- ±

q

2 − !2

0.

Sunt posibile 3 cazuri:

1. Mi¸scarea periodic˘a amortizat˘a. ˆIn cazul frec˘arilor mici, pentru - < !0,  est