Geometrie Descriptivă

Punctul şi dreapta incluse în plan. Proprietăţile planelor simplu şi dublu particulare.

Poziţii relative ale dreptei faţă de plan. Reguli de vizibilitate

1. Punctul şi dreapta incluse în plan

Fiind dat un plan oarecare se cere să se verifice dacă un punct, definit prin coordonate, aparţine acelui plan. O astfel de problemă poate apare ori de câte ori se cere construirea de poligoane, drepte (paralele sau perpendiculare faţă de o altă dreaptă) într-un plan deja definit. In toate aceste situaţii este nevoie să se aleagă puncte care îndeplinesc condiţia de a aparţine planului. Condiţia ca un punct să aparţină unui plan se formulează astfel:

T3 Un punct aparţine unui plan dacă aparţine unei drepte cuprinsă în acel plan.

Observaţii

1. In cazul unui plan dublu particular condiţia de mai sus se poate reformula după cum urmează:

T3 - 1 Un punct aparţine unui plan dublu particular (definit ca locul geometric al punctelor de abscisă / depărtare / cotă dată) dacă respectiv abscisa / depărtarea / cota sa este egală cu cea a planului.

Fig. 1 Fig. 2

In figurile 1 şi 2 punctul M(10, 30, 30) aparţine planului de front [F] caracterizat prin depărtarea y = 30 deoarece y M = y [F]. Punctul N(35, 10, 13) nu aparţine planului [F] deoarece y N  y [F]. Astfel segmentul intersectează planul de front în punctul M.

2. In cazul unui plan simplu particular condiţia de mai sus se poate reformula după cum urmează:

T3 -2 Un punct aparţine unui plan simplu particular dacă o proiecţie a sa aparţine urmei înclinate omonime a planului.

Fig. 3 Fig. 4

In figurile 3 şi 4 punctul B(10, 18, 30) aparţine planului de capăt [P] deoarece proiecţia verticală b’ aparţine urmei înclinate (urma verticală) a planului. Spunem că: dacă [P]  [V] şi  (PV)   [P]. In aceleaşi figuri punctul A(28, 18, 30) nu aparţine planului [P]. Segmentul este un segment de dreaptă fronto-orizontală care intersectează planul [P] în

b) Dreapta inclusă în plan

Problema apartenenţei unei drepte la un plan dat intervine atunci când se doreşte construirea unui poligon sau a unui contur (închis sau deschis) compus din segmente de dreaptă şi / sau arce de cerc, respectând condiţia ca acesta să fie plan.

Pentru a exprima condiţia de apartenenţă a unei drepte la un plan se foloseşte reciproca definiţiei planului. Deci, o dreaptă aparţine unui plan dacă două dintre punctele sale sunt cuprinse în plan

Grafic, în epură, această condiţie se aplică folosind punctele semnificative ale unei drepte, adică urmele sale (orizontală, verticală, laterală) şi formularea condiţiei anterioare devine cea de mai jos:

T4 O dreaptă aparţine unui plan dacă urmele sale aparţin urmelor de acelaşi nume (omonime) ale planului.

Observaţie importantă: în cazul planelor simplu şi dublu particulare este mai simplu să se verifice apartenenţa la plan a oricare două puncte ale dreptei.

Exemplul nr. 1: Fie planul vertical [Q] ([Q]  [H]) definit prin punctele Qx(40, 0, 0) şi Qy(0, 40, 0). Se cere să se verifice dacă segmentul {C(25, 15, 5), D(10, 30, 15)} aparţine planului [Q]. In figurile 5 şi 6 sunt prezentate schiţa spaţială şi respectiv epura care conţine rezolvarea