Mecanica fluidelor vâscoase

Scurt istoric

Saint-Venant

Curgeri cu frecare Pionerii Saint-Venant, Navier și Stokes

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (23 august 1797- 6 ianuarie 1886) a fost un

mecanician și matematician francez care a contribuit la analiza stării de tensiune in stucturi

(metalice) și a dezvoltat teoria curgerii nestaționare cu suprafață liberă, în canale deschise.

Ecuațiile curgerii (denumite și ecuațiile Saint-Venant) sunt un set de ecuații cu derivate parțiale de

tip hiperbolic (sau parabolic dacă tensiunile de forfecare vâscoasă sunt luate în calcul) care

descriu curgerea sub o suprafața de presiune într-un fluid (de regulă o suprafață liberă).

(https://www.youtube.com/watch?v=K4Sei_V2HLE)

Claude-Louis Navier

Claude-Louis Navier (10 februarie 1785 - 21 august 1836) a fost un inginer francez și fizician

specializat în mecanică. Navier a formulat teoria generală a elasticității într-o formă matematică

utilizabilă. În 1819 a reușit stabilirea poziției axei neutre pentru o solicitarea mecanică (de

încovoire) și a corectat rezultatele incorecte ale teoriei lui Galileo Galilei. În 1826 a stabilit

modulul de elasticitate ca o proprietate de material independentă de modul de inerție al

secțiunii. Navier, prin contribuțiile sale, este considerat fondatorul analizei structurale moderne.

Contribuțiile sale majore rămân, însă, ecuațiile Navier-Stokes: formularea pentru curgerea unui

fluid incompresibil (1821) și formularea generală pentru curgerea unui fluid vâscos (1822).

Ironia face ca Navier să nu cunoască efectele tensiunilor de forfecare într-un fluid, el modificând

ecuațiile lui Euler prin considerarea forțelor dintre moleculele de fluid (raționament inacceptabil

astăzi). Cu toate acestea a dedus forma corectă a ecuațiilor pentru curgeri ce implică frecare.

George Gabriel Stokes

Sir George Gabriel Stokes, 1st Baronet (13 august 1819 - 1 februarie 1903) a fost un

matematician și fizician irlandez care a avut importante contribuții în mecanica fluidelor, optică,

fizică și matematică.

Primele lucrări ale lui Stokes, publicate, care au apărut în anii 1842 și 1843, au fost despre

mișcarea staționară a fluidelor incompresibile (On some cases of Fluid Motion). Acestea au fost

urmate în 1845 de una despre frecarea fluidelor în mișcare și alta despre echilibrul și mișcarea

solidelor elastice iar, în 1850, de o lucrare privind efectele de frecare internă a fluidelor asupra

mișcării pendulului (On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums.

Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. IX. p. [8], 1850).

Munca sa asupra mișcării fluidelor și vâscozității a condus la calculul vitezei limită pentru o sferă

care cade liber într-un mediu vâscos. Aceasta a devenit cunoscută sub numele de legea lui

Stokes. Pe de altă parte, cunoscând viteza limită se poate determina vâscozitatea fluidului

(dispozitivul numindu-se vâscozimetru). Mai târziu, unitatea CGS de vâscozitate cinematică (St) a

fost denumită Stokes, în onoarea sa.

În 1845 Stokes a îmbunătățit formularea lui Navier prin introducerea unei alte explicații pentru

frecarea internă a fluidelor, făcând derivarea ecuației (de mișcare) mai credibilă. Ecuația de

mișcare arată cum forțele, care acționează atât asupra, cât și în interiorul unui fluid, determină

curgerea fluidului. În 1880 publică o lucrare despre cercetările efectuate în hidrodinamică (Report

on Recent Researches on Hydrodynamics, Mathematical and Physical Papers vol1, pp. 157-187,

Cambridge University Press, 1880).

Intotdeauna, când ecuațiile Navier-Stokes sunt puse în formă adimensională, se va

observa că pentru Re -  ecuațiile tiind către ecuațiile Euler (fluid perfect), ceea ce

sugerează că mișcarea fluidului ar ”converge” către soluția teoriei de curgere

potențială - paradoxul lui dțAlembert (rezistența la înaintare zero !).

Experimenele însă au demonstrat existența rezistenței la înaintare aceste probleme

au ridicat întrebări privind aplicabilitatea mecanicii fluidelor în a doua jumătate a sec.

al XIX-lea. O problemă rămânea încă nesoluționată și anume calculul rezistenței la

înaintare.

În 1904, Ludwig Prandtl (1875- 1953) prezintă la la Al III-lea Congres

Internațional al Matematicienilor un concept revoluționar și anume conceptul de

strat limită. El arată că în imediata vecinătate a suprafețelor există o zonă unde

efectele de frecare sunt importante, iar modelul matematic derivat din ecuațiile Navier-

Stokes poate fi mult simplificat. În afara acestei regiuni efectele de frecare pot fi

neglijate, iar modelul Euler poate fi aplicat. Conceptul de strat limită s-a dovedit cel

mai util instrument în studiul curgerilor din jurul corpurilor aerodinamice.

În disertația lui Blasius din 1907 s-a calculat (folosind soluții autosimilare) pentru

prima dată stratul limită laminar pe placa plană.