Modelarea Sistemelor Mecatronice

CURS 1 MODELAREA MATEMATICĂ A SISTEMELOR

Sistemele mecatronice sunt structuri complexe formate din componente mecanice, electronice şi elemente de interfaţare mecano-electrice. Există o mare diversitate de astfel de sisteme şi găsirea unor modalităţi de tratare unitară reprezintă, în general, o problemă dificilă.

În cele ce urmează, se va dezvolta treptat un concept unitar bazat pe ecuaţiile Lagrange care să permită obţinerea unui formalism adecvat în determinarea modelelor matematice ale sistemelor mecatronice.

1.1 Modele matematice ale sistemelor

Pentru majoritatea sistemelor întâlnite în natură, ecuaţiile de mişcare se pot obţine din legea a doua a lui Newton. Pentru fixarea ideilor, se va considera sistemul redus la un punct material de masă m a cărei poziţie este definită de vectorul r.

(1.1.1)

şi cu viteza şi acceleraţia

(1.1.2)

(1.1.3)

Figura 1.1 Punct material supus unei forţe

Ecuaţia lui Newton are forma

(1.1.4)

unde reprezintă suma tuturor forţelor ce acţionează asupra punctului de masă m.

Expresia (1.1.4) poate fi rescrisă sub forma

(1.1.5)

unde este momentul liniar al mişcării.

Relaţiile (1.1.4) şi (1.1.5) permit determinarea ecuaţiilor unui corp aflat într-o mişcare de translaţie. În mod similar, mişcarea de rotaţie este descrisă printr-o ecuaţie de forma

(1.1.6)

unde reprezintă momentele aplicate sistemului, este momentul de inerţie iar este acceleraţia unghiulară,

(1.1.7)

unde este viteza unghiulară, iar este poziţia unghiulară.

Expresiile (1.1.4) şi (1.1.6) permit determinarea legilor de mişcare luându-se în consideraţie forţele, respectiv momentele, exercitate asupra corpurilor. Întrucât derivă direct din legile lui Newton ele formează aşa-numita mecanică Newtoniană. Este evident, din însăşi formularea principiului, că aceste metode sunt aplicabile unor structuri mecanice şi mai puţin, sau chiar deloc, unor sisteme activate prin câmpuri electrice sau magnetice.

O altă abordare, care oferă o largă posibilitate de generalizare, constă în utilizarea ecuaţiilor lui Lagrange, bazate pe concepte energetice.

Se vor nota prin coordonatele generalizate ale mişcării, iar forţele generalizate. De exemplu, în mişcarea de rotaţie coordonata generalizată este poziţia unghiulară, , iar forţa generalizată este momentul aplicat .

În raport cu coordonatele generalizate definite în acest fel, energiile reprezentative ale sistemului vor fi:

• energia cinetică:

• energia potenţială:

• energia disipativă:

Ecuaţiile de mişcare ale lui Lagrange au forma

(1.1.8)

În cazul sistemelor conservative, fără pierderi, , deci ecuaţiile lui Lagrange capătă forma simplificată

(1.1.9)

Luând în consideraţie funcţia Lagrange,

(1.1.10)