Procese Stochastice

Capitolul 1

Noţiuni preliminare

Capitolul cuprinde noţiuni fundamentale din teoria probabilităţilor ce urmează a

fi utilizate pe parcursul cursului: probabilitate, proces stochastic, martingal, timp de

oprire.

1.1. Spaţiu de selecţie

Definiţia 1. Fie Ω mulţimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment

aleator oarecare. Elementele mulţimii Ω le numim evenimente elementare iar mulţimea

Ω o numim spaţiu de evenimente elementare sau spaţiu de selecţie.

1.2. Noţiunea de σ -algebră

Definiţia 2. Fie Ω o mulţime nevidă. Familia A de submulţimi din Ω se

numeşte algebră, dacă sunt verificate următoarele axiome:

1. A∈ A implică A ∈ A , unde A reprezintă complementara mulţimii A , mai

precis, {ω ∈ Ω , ω ∉ A};

2. A,B ∈ A implică A∪ B ∈ A

Observaţie. 1. Din definiţia 2 şi din faptul că Ω = A ∪ A rezultă Ω ∈ A . Prin

urmare şi φ ∈ A , deoarece φ = Ω ; 2. Cum A ∩ B = A ∪ B şi A,B ∈ A rezultă

A ∩ B ∈ A .

Definiţia 3. Familia F de submulţimi din Ω se numeşte σ -algebră sau câmp

sau corp borelian de evenimente dacă verifică următoarele axiome:

Observaţie. F reprezintă mulţimea evenimentelor asociate experimentului

aleator sau altfel spus, F conţine toate submulţimile lui Ω .

Exemple de σ -algebre. Fie Ω un spaţiu arbitrar de evenimente elementare.

Cea mai “săracă” σ -algebră a spaţiului Ω este submulţimea {φ , Ω} iar cea mai

“bogată” σ -algebră conţine toate submulţimile spaţiului Ω .

Considerăm experimentul clasic ce constă în aruncarea de două ori a unei

monede perfecte. In acest caz, spaţiul de evenimente elementare este mulţimea

Ω ={HH, HT,TH,TT} şi folosind definiţia este uşor de verificat că mulţimea F

formată din toate submulţimile spaţiului Ω şi mulţimea G = {φ , Ω,{HH,HT},{TH,TT}}

sunt σ -algebre.

σ -algebra poate fi interpretată ca informaţia pe care o avem la un anumit

moment, ne spune ce evenimente cunoaştem. In exemplul nostru F este σ -algebra în

care ştim toate rezultatele obţinute în urma aruncării monedei, în timp ce G este

σ -algebra în care ştim numai rezultatul primei aruncări. Presupunem că moneda a fost

aruncată de două ori dar nu cunoaştem rezultatul aruncării, ştim numai dacă rezultatul se

află sau nu în G . De exemplu, se spune că rezultatul aruncării nu este φ dar este în Ω .

Mai mult se poate spune că rezultatul aruncării nu se află în {HH, HT} dar se află în

{TH,TT}, cu alte cuvinte ştim doar că rezultatul primei aruncări este T dar nu ştim

nimic despre rezultatul celei de-a doua aruncări. Se spune că σ -algebra G conţine

informaţia până la momentul unu. Analog, putem spune că F conţine informaţia

completă. σ -algebra trivială {φ , Ω} nu conţine informaţii, faptul că rezultatul aruncării

este φ sau se află în Ω nu ne spune nimic despre eveniment.

Dacă A ⊆ Ω atunci familia = {A, A,φ , Ω} A F este σ -algebra (algebra) generată

de mulţimea A . Această familie reprezintă un caz particular al familiilor generate de

partiţii, altfel spus, dacă { , ,..., ,...} 1 2 n A = A A A este o partiţie numărabilă a lui Ω adică

, ,...., ,... 1 2 n A A A sunt submulţimi nevide ale lui Ω cu proprietăţile:

... ... 1 2 Ω = ∪ ∪ ∪ ∪ n A A D , ∩ = φ i j D D , i ≠ j , i, j ≥ 1,

atunci familia formată din mulţimile reprezentate ca reuniuni finite numărabile de

elemente ale partiţiei şi mulţimea vidă este o σ -algebră.

Propoziţia 1. Orice intersecţie de σ -algebre este o σ -algebră.

6

Observaţie. Afirmaţia nu este adevărată pentru reuniunea de σ -algebre. Mai

precis, o reuniune de σ -algebre nu este o întotdeauna o σ -algebră.

Definiţia 4. Fie F şi G două σ -algebre astfel încât G ⊂F ( A∈G implică

A∈F ), atunci G este o sub-σ -algebră a σ -algebreiF .

Definiţia 5. σ -algebra generată de familia de mulţimi F este intersecţia

tuturor σ -algebrelor ce conţin F .

Definiţia 6. Dacă 1 F şi 2 F sunt două σ -algebre, notăm prin 1 2 F ∨F ,

σ -algebra generată de familia 1 2 F ∪F şi reprezintă intersecţia tuturor σ -algebrelor

ce conţin σ - algebrele 1 F şi 2 F .

Propoziţia 2. Fie F o familie de submulţimi ale lui Ω . Atunci există o

σ -algebră minimală, sau altfel spus σ -algebra generată de familia de mulţimi F ,

notată σ (F ), ce conţine toate mulţimile din care este formată familia F .