Simulări de marketing

Simularea de tip Monte Carlo

Simularea Monte Carlo asociază problemei reale un model probabilist şi prin generarea unor variabile aleatoare legate funcţional de soluţie se realizează experienţe pe model furnizându-se informaţii asupra soluţiei problemei.

Este una dintre cele mai generale metode de analiză a fenomenelor care se produc în sistemele caracterizate printr-un număr mare de variabile, parametri, prin relaţii complexe între componente, prin factori perturbatori etc. Sub denumirea de metoda Monte Carlo (MC) se găsesc mai multe metode sau modele de simulare, elementul comun îl constituie faptul că fenomenul real este înlocuit cu un fenomen artificial. In esenţă, se înlocuieşte ansamblul fenomenului real (mulţimea completă N) cu un eşantion reprezentativ făcându-se aproximarea că acest eşantion va da o imagine suficient de clară şi adecvată asupra ansamblului.

Aplicarea metodei constă în asocierea problemei descrise cu un proces stochastic de calcul. Aceasta constă apoi, în efectuarea unui volum mare de calcule aritmetice, pe baza unor relaţii logice descrise printr-un model economico-matematic, în funcţie de valorile unor variabile generate întâmplător (variabile aleatoare). Există cazuri în care metoda Monte Carlo constituie un auxiliar al unor instrumente matematice devenite clasice (de exemplu, metoda lanţurilor Markov) sau al unor tehnici folosite în teoria deciziilor multidimensionale etc.

Elaborarea unui model de simulare MC este legată de principiul metodei cu acelaşi nume: fie o funcţie de variabile aleatoare unde fiecare variabilă urmează o repartiţie bine definită. Atunci pentru fiecare xi se extrage o valoare aparţinând repartiţiei respective şi se evaluează o valoare a lui Z. Aceasta se repetă de n ori, când valoarea astfel obţinută aproximează (în sensul teoriei probabilităţilor) adevărata valoare a repartiţiei lui Z .

Metoda MC se bazează pe o tehnică stochastică care utilizează numere aleatoare şi statistica probabilistă. Ideea centrală constă în: generarea de numere aleatoare, urmând repartiţii predeterminate carese introduc în forma analitică a lui Z şi apoi calculul valorii acesteia. Operaţiunea se repetă de multe ori, algoritmul oprindu-se conform unui criteriu (de convergenţă).

Numere aleatoare /pseudoaleatoare

Definim o secvenţă de numere aleatoare r1, r2, ... în intervalul [a,b] dacă nu există nici o corelaţie între diferitele numere din cadrul secvenţei.

Numerele sunt aleatoare cu distribuţia P(x) dacă probabilitatea de a găsi numărul ri in intervalul [xi, xi+1] este .

Numerele pseudoaleatoare satisfac următoarele condiţii:

a) sunt repartizate uniform într-un interval dat.

b) sunt statistic independente (nu sunt autocorelate);

c) sunt reproductibile (pentru a testa programe sau a efectua comparaţii);

d) funcţia de repartiţie este stabilă, adică nu se schimbă în cursul rulării programului de simulare;

e) şirul generat are o perioadă de repetiţie mare care poate fi predeterminată (cel puţin ca o limită inferioară).

Şirurile de numere pseudoaleatoare aproximează şirurile de numere aleatoare .

Cele mai des folosite pentru generarea numerelor aleatoare sunt metodele analitice; acestea constau în utilizarea unui algoritm de calcul prin care se generează de fapt, numere pseudoaleatoare, bazat pe relaţii de recurenţă:

- se consideră funcţiile fj, aparţinând unei clase de funcţii F şi un şir iniţial u1, u2, …ur.

- pe baza funcţiilor fj şi a şirului iniţial, se vor genera numerele ur+1, ur+2, …, uj.

Un număr pseudoaleator uj+1 se generează cu ajutorul unei relaţii:

Deci, un număr provine din cele r numere precedente. Şirul astfel obţinut poate fi reprodus şi are o perioadă finită (după un anumit număr de generări se reproduce şirul iniţial u1, u2, …ur).

Un procedeu aritmetic recurent de producere a unor numere aleatoare se numeşte generator. Deşi folosirea unui generator nu va produce numere întâmplătoare, pentru anumite alegeri ale funcţiei de recurenţă f, şi a numărului de valori din şirul iniţial, se pot produce şiruri de numere pseudo-aleatoare de calitate rezonabilă. Pentru aceasta, un generator va trebui să îndeplinească anumite cerinţe (caseta 1) şi ulterior şirul de numere generate să fie test prin teste statistice adecvate (numite teste de concordanţă).

Caseta 1. Caracteristici ale unui generator de numere pseudo-aleatoare

Generatorul să fie simplu şi rapid.

Generatorul să producă şiruri de numere oricât de lungi şi care să nu conţină repetiţii (sau cu perioadă de repetiţii foarte mare).

Generatorul să producă numere independente statistic unele faţă de altele (numerele să nu fie dependente stochastic şi cât mai puţin corelate).

Generatorul să producă numere a căror repartiţie să fie uniformă.

Etape de de lucru

1. se stabileşte numărul şi semnificaţia variabilelor aleatoare considerate. Cu cât numărul acestora este mai mare, cu atât problema este mai greu de rezolvat, iar rezultatele sunt mai susceptibile de erori.

2. se desfăşoară seria de observaţii (într-un număr considerabil de mare - de cele mai multe ori, de ordinal miilor) - pentru fiecare variabilă studiată în parte se înregistrează câte un interval de valori ale variabilei şi frecvenţele corespunzătoare de apariţie (se construiesc atâtea tabele câte variabile au fost luate în considerare);

3. pe baza acestor tabele, pentru fiecare variabilă în parte se întocmeşte un tabel al frecvenţelor cumulate; se trasează grafic, eventual, curbele de frecvenţe cumulate pentru fiecare variabilă aleatoare;

4. se alege un procedeu de generare a numerelor aleatoare/pseudoaleatoare (astfel încât numerele să fie cuprinse în intervalul sau gama de valori reale ale variabilelor studiate);

5. pentru fiecare variabilă întâmplătoare se asociază valori simulate (sau virtuale) ale variabilei studiate şi, în majoritatea cazurilor, vor fi diferite de valorile obţinute anterior;

6. pentru valorile alese se caută prin interpolare valorile corespunzătoare pentru variabilele de interes;

7. se studiază valorile obţinute calculând media aritmetică / abaterea standard/ dispersia / coeficientul de variaţie ;

8. dacă abaterea standard este mare (mai mare decât gradul de precizie impus) se măreşte numărul de observaţii asupra fenomenului studiat .