Algebră

Curs 1

Reducerea unei matrici la forma scar˘a

1.1 Rezolvarea unui sistem prin metoda reducerii la forma scar˘a

O problem˘a ce apare ˆın numeroase domenii din economie s¸i inginerie este aceea a rezolv˘arii

unui sistem de m ecuat¸ii algebrice cu n necunoscute:

a11x1 + a12x2 + ¢ ¢ ¢ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ¢ ¢ ¢ a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + ¢ ¢ ¢ amnxn = bm

(1.1)

Coeficient¸ii aij , i = 1;m, j = 1; n, sunt numere reale sau complexe.

Exemplele ilustrate s¸i rezolvate ˆın fis¸ierul Recapitulare_Liceu.pdf, cu metode studiate la

liceu evident¸iaz˘a c˘a pentru un sistem de n ecuat¸ii liniare cu n necunoscute (n ¸ 4), compatibil

determinat, calculul determinant¸ilor de ordin n implic˘a un volum mare de calcul, la fel ca s¸i calculul

inversei matricii sistemului (pentru rezolvarea matricial˘a). La fel, determinarea rangului

unei matrici A de tip m£n, cu m sau n ¸ 4, prin calculul determinant¸ilor de ordin maxim, etc,

este foarte laborioas˘a. Cum ˆın problemele practice de inginerie s¸i economie pot ap˘area sisteme

de ecuat¸ii algebrice cu multe necunoscute, ar fi avatajos s˘a avem o metod˘a exact˘a s¸i rapid˘a de

detectare a compatibilit˘at¸ii, sau incompatibilit˘at¸ii sistemelor liniare (deci de calcul a rangului

matricii sistemului f˘ar˘a a calcula determinant¸i asociat¸i), precum s¸i de rezolvare a acestora, ˆın

caz de compatibilitate.

Cel mai simplu se rezolv˘a un sistem de n ecuat¸ii liniare cu n necunoscute de form˘a triunghiular

˘a, adic˘a de forma:

a11x1 + a12x12 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1

a22x22 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2

...

...

annxn = bn;

(1.2)

unde coeficient¸ii aii 6= 0, i = 1; n. Matricea unui astfel de sistem se numes¸te matrice superior

triunghiular˘a:

1

2 Cursul 1, Algebr˘a–Geometrie c° E. Petris¸or, octombrie 2007

A =

2

6664

a11 a12 : : : a1n

0 a22 : : : a2n

...

...

: : :

...

0 0 : : : ann

3

7775

(1.3)

Un sistem triunghiular este compatibil determinat, deoarece determinantul det(A)= a11a22 ¢ ¢ ¢ ann 6=

0 s¸i se rezolv˘a prin metoda substitut¸iei inverse, adic˘a se rezolv˘a succesiv ecuat¸iile n; n ¡ 1; : : : ; 2; 1. Din ultima ecuat¸ie se calculeaz˘a xn = bn=ann, care se introduce ˆın ecuat¸ia n ¡ 1,

ce se rezolv˘a apoi ˆın raport cu xn¡1, s¸i as¸a mai departe, pˆan˘a ajungem la rezolvarea ecuat¸iei 1.

Avem deci urm˘atorul

Algoritm de rezolvare a unui sistem ˆın forma triunghiular˘a

² se calculeaz˘a xn = bn=ann;

² pentru i descrescˆand de la n ¡ 1 la 1, calculeaz˘a:

xi =

1

aii

(bi ¡ ai;i+1xi+1 ¡ ai;i+2xi+2 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ ainxn)

1.2 Reducerea unei matrici la forma scar˘a pe linii

ˆIn cele ce urmeaz˘a vom ar˘ata c˘a orice sistem de n ecuat¸ii cu n necunoscute, compatibil determinat

se poate reduce printr-un s¸ir de transform˘ari succesive numite transform˘ari elementare pe

linie la forma triunghiular˘a, iar un sistem de m ecuat¸ii liniare cu n necunoscute, se poate reduce

la o form˘a cvasitriunghiular˘a numit˘a s¸i forma scar˘a pe linie.

Fix˘am urm˘atoarele notat¸ii pentru liniile, respectiv coloanele unei matrici A de tip m £ n

cu elemente reale sau complexe. Not˘am prin Ai; : linia i a matricii s¸i prin A:; j coloana j,

i = 1;m, j = 1; n.

Definit¸ia 1.2.1 O matrice S 2 Mmn(R) are forma scar˘a pe linii dac˘a verific˘a urm˘atoarele

dou˘a propriet˘at¸i:

1. Dac˘a o linie Si;: are toate elementele 0 atunci toate liniile de sub aceasta au elementele

zero: adica Sj;: = [ 0 0 ¢ ¢ ¢ 0] , cu i < j · m;

2. Dac˘a primul element nenul dintr-o linie Si;: este sij , atunci ˆın coloanele S:;1; S:;2; : : : ; S:j

toate elementele de sub pozit¸ia i sunt nule.

Matricea urm˘atoare ilustreaz˘a particularit˘at¸ile din definit¸ie. Elementele notate prin F simbolizeaz

˘a elemente nenule. Elementele ¤ pot fi nule sau nenule.

S =

2

66664

F ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ 0 0 F ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ 0 0 0 F ¤ ¤ ¤ ¤ 0 0 0 0 0 0 F ¤ 0 0 0 0 0 0 0 0

3

77775

à i (1.4)

Cursul 1, Algebr˘a–Geometrie c° E. Petris¸or, octombrie 2007 3

Un caz particular de matrice ˆın forma scar˘a pe linie este matricea p˘atratic˘a triunghiular˘a. Urm˘atoarele

matrici au forma scar˘a:

S1 =

2

66664

7 ¡3 1 ¡6

0 2 ¡8 ¡1

0 0 ¡3 5

0 0 0 ¡4

0 0 0 0

3

77775

S2 =

2

664

¡2 5 0 3

0 4 ¡7 1

0 0 2 ¡8

0 0 0 0

3

775

S3 =

2

664

¡6 2 5 0 1

0 1 ¡3 ¡1 2

0 0 0 1 ¡5

0 0 0 0 ¡3

3

775

Primul element nenul de pe fiecare linie a unei matrici ˆın forma scar˘a pe linie se numes¸te

pivot (ˆın 1.4 pivotul este notat F).

Definit¸ia 1.2.2 Dou˘a sisteme demecuat¸ii liniare cu n necunoscute se numesc echivalente dac˘a

mult¸imea solut¸iilor este aceeas¸i pentru ambele sisteme.

Consider˘am sistemul de ecuat¸ii liniare (1.1) s¸i not˘am cu Eci ecuat¸ia a i-a din sistem, i.e.: