Algebră și Geometrie pentru Inginerie Economica

ALGEBRĂ LINIARĂ

CAPITOLUL 1

SPAŢII VECTORIALE

§1. Spaţii vectoriale

Spaţiul vectorial este una din cele mai importante structuri matematice, care

serveşte disciplinelor tehnice si economice.

Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ şi 1K elementul său unitate. Un triplet format

din:

-o mulţime nevidă V

-o lege de compoziţie internă, definită pe V, notată aditiv

+ : V ×V →V

(u, v)→ u + v , ∀ u,v∈V

-o lege de compoziţie externă

⋅ : K×V → V

(α,u)→ α⋅ u, ∀ α,v∈V

se numeşte spaţiu vectorial (liniar) peste K (sau K-spaţiu vectorial), dacă verifică

următoarele axiome:

(V1) (V,+) este grup abelian (elementul neutru al acestui grup va fi notat θ )

(V2) α ⋅(u + v)= α ⋅ u + α ⋅ v ∀u, v ∈ V, ∀α ∈K

(V3) (α + β)⋅ u = α ⋅ u + β ⋅ u ∀ u ∈ V, ∀α,β ∈K

(V4) ( ) ( )u α ⋅ β ⋅u = αβ ⋅ ∀ u∈V , ∀α,β ∈ K

(V5) 1K ⋅ u = u ∀u ∈V

Dacă K=R (respectiv K=C) vom spune că V este un spaţiu vectorial real (respectiv

complex).

Elementele unui K-spaţiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpului K se

numesc scalari.

Propoziţia 1.1. Fie V un K-spaţiu vectorial. Atunci sunt adevărate următoarele

afirmaţii:

2) ( - ) u u - v , K u V

1) (u - v) u - v K u, v V

α β ⋅ = α ⋅ β ⋅ ∀α β ∈ ∀ ∈

α ⋅ = α ⋅ α ⋅ ∀α ∈ ∀ ∈

3) α ⋅ θ = θ ∀α ∈K

4) 0k ⋅ u = θ ∀ u ∈V

5) (−1K ) ⋅ u = −u ∀u ∈V

6) dacă α ⋅u = θ , atunci α = 0K sau u = θ .

Exemple.

1. Spaţiul aritmetic K n cu n dimensiuni

Fie K un corp comutativ oarecare şi n∈N un număr natural nenul.

Vom considera produsul cartezian

K n = 1442443

n ori

K K K

−

× ×....×

unde elementele lui Kn sunt de forma (xi ) = (x1, x2 ...xn ) şi se numesc n-uple ordonate.

Produsul cartezian K n poate fi dotat cu o structură de spaţiu vectorial peste corpul

K, dacă se definesc pe K n :

-o lege de compoziţie aditivă, internă, prin:

( ),( ) (xi ) ( i ) ( i i )

n

∀ xi yi ∈ K + y = x + y

-o lege de compoziţie externă peste K prin:

∀(xi ) ∈K, ∀α ∈K α ⋅ (xi ) = (αxi ) .

Se verifică uşor că aceste legi de compoziţie determină pe K n o structură de spaţiu

vectorial peste K. K-spaţiul vectorial (K n ,+,⋅) se numeşte spaţiul aritmetic (standard) cu n

dimensiuni.

2. Mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane, cu elemente reale , formează un

spaţiu liniar real, notat Mmxn (R). Operaţiile acestui spaţiu liniar sunt: adunarea matricelor

şi înmulţirea dintre un număr real şi o matrice.

3. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi, împreună cu adunarea

polinoamelor şi înmulţirea unui număr real cu un polinom formează un spaţiu vectorial

real,notat C[X].

4. Mulţimea polinoamelor de grad cel mult n, cu coeficienţi reali constituie un spaţiu

vectorial real notat P [X] n , cu legile de compoziţie din exemplul 3.

Definiţia 1.2. Fie v1,v2 ...vn ∈V , n vectori din K-spaţiul vectorial V şi α1, α2 ...αn ∈ K.

Vectorul n nv v v v α + + α + α = ... 2 2 1 1 ⎟

se numeşte combinaţia liniară a

vectorilor v1,...,vn .

§ 2. Subspaţii vectoriale (liniare)

Fie K-spaţiul vectorial V.

Definiţia 2.1. O submulţime nevidă W ⊆ V se numeşte subspaţiu vectorial

(liniar) a lui V dacă:

1) ∀ u,v ∈W u + v ∈W

2) ∀α ∈ K ,∀u ∈W α ⋅u∈W

Definiţia 2.2. O submulţime nevidă W⊆V se numeşte subspaţiu vectorial (liniar) al

lui V dacă:

∀ u,v ∈W , ∀α, β∈K, α ⋅ u + β ⋅ v ∈W.

Observaţii

1) Cele două definiţii de mai sus sunt echivalente şi deci în aplicaţii poate fi verificată

oricare dintre ele.

2) Deoarece adunarea vectorilor şi înmulţirea cu scalari, pe W sunt restricţii ale

operaţiilor din V, atunci W împreună cu aceste legi de compoziţie verifică toate axiomele

spaţiului vectorial.

Se poate da o definiţie echivalentă cu cele de mai sus:

Definiţia 2.3. W⊆V este subspaţiu vectorial a lui V dacă şi numai dacă W este

spaţiu vectorial peste K în raport cu operaţiile din V.