Analiza I

1. Serii numerice

1.1. ¸Siruri de numere reale

¸Sir de numere reale. O func¸tie f : Nk ! R, unde Nk este mul¸timea

fk; k + 1; k + 2; : : :g; k 2 N, se nume¸ste ¸sir de numere reale. Pentru ¸sirul f se

folose¸ste nota¸tia (an)nk; unde an = f(n). În mod uzual k se ia 0 sau 1.

De exemplu, prin (an)n1 cu an =

sin n

n2 ; în¸telegem func¸tia f : N1 ! R, unde

f(n) =

sin n

n2 .

¸Sir monoton. Fie ¸sirul (an)nk. Dac¼a an  an+1 pentru orice n  l; unde l  k;

atunci ¸sirul se nume¸ste cresc¼ator. Dac¼a an  an+1 pentru orice n  l; unde l  k;

atunci ¸sirul se nume¸ste descresc¼ator. Dac¼a an < an+1 pentru orice n  l; unde l  k;

atunci ¸sirul se nume¸ste strict cresc¼ator (un ¸sir strict cresc¼ator este cresc¼ator). Dac¼a

an > an+1 pentru orice n  l; unde l  k; atunci ¸sirul se nume¸ste strict descresc¼ator

(un ¸sir strict descresc¼ator este descresc¼ator). Un ¸sir cresc¼ator sau descresc¼ator se

nume¸ste monoton.

¸Sirul (an)n0; an = n; este strict cresc¼ator, iar ¸sirul (an)n1; an =

1

n

; este strict

descresc¼ator.

¸Sir m¼arginit. ¸Sirul (an)nk este m¼arginit inferior dac¼a exist¼a m 2 R astfel

încât an  m pentru orice n  k. ¸Sirul (an)nk este m¼arginit superior dac¼a exist¼a

M 2 R astfel încât an  M pentru orice n  k. Un ¸sir m¼arginit inferior ¸si superior

este un ¸sir m¼arginit.

Un ¸sir este m¼arginit dac¼a ¸si numai dac¼a exist¼a M > 0 astfel încât janj  M

pentru orice n  k.

Exemple. ¸Sirul (an)n1; an =

(????1)n

n

; este m¼arginit pentru c¼a janj =

(????1)n

n

=

1

n  1 oricare ar … n  1.

¸Sirul (an)n1; an = 1 + n2; este m¼arginit inferior (an  2) dar nu este m¼arginit

superior, deci nu este m¼arginit.

¸Sir convergent (limita unui ¸sir). ¸Sirul (an)nk are limita a 2 R ( lim

n!1

an = a)

dac¼a pentru orice " > 0 exist¼a N(") 2 N astfel încât jan ???? aj < " pentru orice

n  N("). Dac¼a un ¸sir are limit¼a (ca mai sus, adica limita este num¼ar real), atunci

se spune c¼a el este convergent. Limita, dac¼a exist¼a, este unic¼a. Un ¸sir care nu este

convergent se nume¸ste divergent.

Orice ¸sir convergent este m¼arginit. Reciproca nu este adev¼arat¼a.

Exemple. 1) ¸Sirul (an)n1, an =

1

n

; este convergent ¸si lim

n!1

an = 0 pentru c¼a

jan ???? 0j < " înseamn¼a

1

n

< "; adic¼a n >

1

"

; luând N(") =



1

"



+1; pentru n  N(")

avem jan ???? 0j < ".

1

2) ¸Sirul (an)n1, an = (????1)n; este divergent ¸si m¼arginit.

Limite in…nite. ¸Sirul (an)nk are limita +1 ( lim

n!1

an = +1) dac¼a pentru

orice num¼ar real ¸si pozitiv M exist¼a N(M) 2 N astfel încât an  M pentru orice

n  N(M). ¸Sirul (an)nk are limita ????1 ( lim

n!1

an = ????1) dac¼a ¸sirul (????an)nk are

limita +1.

Exemple. 1) Fie an = 1 + n2. Atunci lim

n!1

an = +1.

2) Dac¼a an = ????n2; atunci lim

n!1

an = ????1:

Opera¸tii cu limite de ¸siruri. Fie (an)nk ¸si (bn)nk ¸siruri de numere reale ¸si

lim

n!1

an = a; lim

n!1

bn = b; a; b 2 R. Atunci lim

n!1

(an + bn) = a + b; ; 2 R,

lim

n!1

anbn = ab ¸si, dac¼a bn 6= 0 pentru n  k; b 6= 0; lim

n!1

an

bn

=

a

b

.

Vom scrie în mod simbolic (+1) = +1 dac¼a > 0; (+1) = ????1 dac¼a

< 0; (????1) = ????1dac¼a > 0; (????1) = +1dac¼a < 0; (+1)+(+1) = +1;

(????1) + (????1) = ????1; (+1) (+1) = +1; (+1) (????1) = ????1; (????1) (????1) =

+1;

1

1

= 0; 01 = 0.

De exemplu, (+1) + (+1) = +1 înseamn¼a c¼a oricare ar … ¸sirurile (an)n1 ¸si

(bn)n1 astfel încât lim

n!1

an = +1 ¸si lim

n!1

bn = +1; are loc lim

n!1

(an + bn) = +1.

Cazuri de nedeterminare. Urm¼atoarele opera¸tii sunt nede…nite: 1????1; 1

1

;

0
1;

0

0

; 11;10; 00. De exemplu,1????1se spune c¼a este o opera¸tie nede…nit¼a pentru

c¼a dac¼a lim

n!1

an = +1 ¸si lim

n!1

bn = +1; atunci lim

n!1

(an ???? bn) depinde de ¸sirurile

(an)nk ¸si (bn)nk. Într-adev¼ar, …e an = n + 1 ¸si bn = n. Atunci lim

n!1

(an ???? bn) = 1:

Dar dac¼a an = n2 + n ¸si bn = n; atunci lim

n!1

(an ???? bn) = lim

n!1

n2 = +1.