Analiza I

Curs
9/10 (2 voturi)
Domeniu: Matematică
Conține 7 fișiere: pdf
Pagini : 70 în total
Cuvinte : 24665
Mărime: 726.74KB (arhivat)
Cost: Gratis
Profesor îndrumător / Prezentat Profesorului: Bodnariu

Extras din document

1. Serii numerice

1.1. ¸Siruri de numere reale

¸Sir de numere reale. O func¸tie f : Nk ! R, unde Nk este mul¸timea

fk; k + 1; k + 2; : : :g; k 2 N, se nume¸ste ¸sir de numere reale. Pentru ¸sirul f se

folose¸ste nota¸tia (an)nk; unde an = f(n). În mod uzual k se ia 0 sau 1.

De exemplu, prin (an)n1 cu an =

sin n

n2 ; în¸telegem func¸tia f : N1 ! R, unde

f(n) =

sin n

n2 .

¸Sir monoton. Fie ¸sirul (an)nk. Dac¼a an  an+1 pentru orice n  l; unde l  k;

atunci ¸sirul se nume¸ste cresc¼ator. Dac¼a an  an+1 pentru orice n  l; unde l  k;

atunci ¸sirul se nume¸ste descresc¼ator. Dac¼a an < an+1 pentru orice n  l; unde l  k;

atunci ¸sirul se nume¸ste strict cresc¼ator (un ¸sir strict cresc¼ator este cresc¼ator). Dac¼a

an > an+1 pentru orice n  l; unde l  k; atunci ¸sirul se nume¸ste strict descresc¼ator

(un ¸sir strict descresc¼ator este descresc¼ator). Un ¸sir cresc¼ator sau descresc¼ator se

nume¸ste monoton.

¸Sirul (an)n0; an = n; este strict cresc¼ator, iar ¸sirul (an)n1; an =

1

n

; este strict

descresc¼ator.

¸Sir m¼arginit. ¸Sirul (an)nk este m¼arginit inferior dac¼a exist¼a m 2 R astfel

încât an  m pentru orice n  k. ¸Sirul (an)nk este m¼arginit superior dac¼a exist¼a

M 2 R astfel încât an  M pentru orice n  k. Un ¸sir m¼arginit inferior ¸si superior

este un ¸sir m¼arginit.

Un ¸sir este m¼arginit dac¼a ¸si numai dac¼a exist¼a M > 0 astfel încât janj  M

pentru orice n  k.

Exemple. ¸Sirul (an)n1; an =

(????1)n

n

; este m¼arginit pentru c¼a janj =

(????1)n

n

=

1

n  1 oricare ar … n  1.

¸Sirul (an)n1; an = 1 + n2; este m¼arginit inferior (an  2) dar nu este m¼arginit

superior, deci nu este m¼arginit.

¸Sir convergent (limita unui ¸sir). ¸Sirul (an)nk are limita a 2 R ( lim

n!1

an = a)

dac¼a pentru orice " > 0 exist¼a N(") 2 N astfel încât jan ???? aj < " pentru orice

n  N("). Dac¼a un ¸sir are limit¼a (ca mai sus, adica limita este num¼ar real), atunci

se spune c¼a el este convergent. Limita, dac¼a exist¼a, este unic¼a. Un ¸sir care nu este

convergent se nume¸ste divergent.

Orice ¸sir convergent este m¼arginit. Reciproca nu este adev¼arat¼a.

Exemple. 1) ¸Sirul (an)n1, an =

1

n

; este convergent ¸si lim

n!1

an = 0 pentru c¼a

jan ???? 0j < " înseamn¼a

1

n

< "; adic¼a n >

1

"

; luând N(") =



1

"



+1; pentru n  N(")

avem jan ???? 0j < ".

1

2) ¸Sirul (an)n1, an = (????1)n; este divergent ¸si m¼arginit.

Limite in…nite. ¸Sirul (an)nk are limita +1 ( lim

n!1

an = +1) dac¼a pentru

orice num¼ar real ¸si pozitiv M exist¼a N(M) 2 N astfel încât an  M pentru orice

n  N(M). ¸Sirul (an)nk are limita ????1 ( lim

n!1

an = ????1) dac¼a ¸sirul (????an)nk are

limita +1.

Exemple. 1) Fie an = 1 + n2. Atunci lim

n!1

an = +1.

2) Dac¼a an = ????n2; atunci lim

n!1

an = ????1:

Opera¸tii cu limite de ¸siruri. Fie (an)nk ¸si (bn)nk ¸siruri de numere reale ¸si

lim

n!1

an = a; lim

n!1

bn = b; a; b 2 R. Atunci lim

n!1

( an + bn) = a + b; ; 2 R,

lim

n!1

anbn = ab ¸si, dac¼a bn 6= 0 pentru n  k; b 6= 0; lim

n!1

an

bn

=

a

b

.

Vom scrie în mod simbolic (+1) = +1 dac¼a > 0; (+1) = ????1 dac¼a

< 0; (????1) = ????1dac¼a > 0; (????1) = +1dac¼a < 0; (+1)+(+1) = +1;

(????1) + (????1) = ????1; (+1) (+1) = +1; (+1) (????1) = ????1; (????1) (????1) =

+1;

1

1

= 0; 01 = 0.

De exemplu, (+1) + (+1) = +1 înseamn¼a c¼a oricare ar … ¸sirurile (an)n1 ¸si

(bn)n1 astfel încât lim

n!1

an = +1 ¸si lim

n!1

bn = +1; are loc lim

n!1

(an + bn) = +1.

Cazuri de nedeterminare. Urm¼atoarele opera¸tii sunt nede…nite: 1????1; 1

1

;

01;

0

0

; 11;10; 00. De exemplu,1????1se spune c¼a este o opera¸tie nede…nit¼a pentru

c¼a dac¼a lim

n!1

an = +1 ¸si lim

n!1

bn = +1; atunci lim

n!1

(an ???? bn) depinde de ¸sirurile

(an)nk ¸si (bn)nk. Într-adev¼ar, …e an = n + 1 ¸si bn = n. Atunci lim

n!1

(an ???? bn) = 1:

Dar dac¼a an = n2 + n ¸si bn = n; atunci lim

n!1

(an ???? bn) = lim

n!1

n2 = +1.

Preview document

Analiza I - Pagina 1
Analiza I - Pagina 2
Analiza I - Pagina 3
Analiza I - Pagina 4
Analiza I - Pagina 5
Analiza I - Pagina 6
Analiza I - Pagina 7
Analiza I - Pagina 8
Analiza I - Pagina 9
Analiza I - Pagina 10
Analiza I - Pagina 11
Analiza I - Pagina 12
Analiza I - Pagina 13
Analiza I - Pagina 14
Analiza I - Pagina 15
Analiza I - Pagina 16
Analiza I - Pagina 17
Analiza I - Pagina 18
Analiza I - Pagina 19
Analiza I - Pagina 20
Analiza I - Pagina 21
Analiza I - Pagina 22
Analiza I - Pagina 23
Analiza I - Pagina 24
Analiza I - Pagina 25
Analiza I - Pagina 26
Analiza I - Pagina 27
Analiza I - Pagina 28
Analiza I - Pagina 29
Analiza I - Pagina 30
Analiza I - Pagina 31
Analiza I - Pagina 32
Analiza I - Pagina 33
Analiza I - Pagina 34
Analiza I - Pagina 35
Analiza I - Pagina 36
Analiza I - Pagina 37
Analiza I - Pagina 38
Analiza I - Pagina 39
Analiza I - Pagina 40
Analiza I - Pagina 41
Analiza I - Pagina 42
Analiza I - Pagina 43
Analiza I - Pagina 44
Analiza I - Pagina 45
Analiza I - Pagina 46
Analiza I - Pagina 47
Analiza I - Pagina 48
Analiza I - Pagina 49
Analiza I - Pagina 50
Analiza I - Pagina 51
Analiza I - Pagina 52
Analiza I - Pagina 53
Analiza I - Pagina 54
Analiza I - Pagina 55
Analiza I - Pagina 56
Analiza I - Pagina 57
Analiza I - Pagina 58
Analiza I - Pagina 59
Analiza I - Pagina 60
Analiza I - Pagina 61
Analiza I - Pagina 62
Analiza I - Pagina 63
Analiza I - Pagina 64
Analiza I - Pagina 65
Analiza I - Pagina 66
Analiza I - Pagina 67
Analiza I - Pagina 68
Analiza I - Pagina 69
Analiza I - Pagina 70

Conținut arhivă zip

  • campuri.pdf
  • extreme.pdf
  • funcdifer.pdf
  • improprii.pdf
  • limcont.pdf
  • serii.pdf
  • sputeri.pdf

Alții au mai descărcat și

Ecuații Diferențiale Liniare cu Coeficienți Constanți

INTRODUCERE Teoria ecuaţiilor diferenţiale¸ reprezintă unul din domeniile fundamentale ale matematicii cu largi aplicaţii în tehnică, ca de...

Integrale definite - Aplicații

Introducere Una dintre problemele de bază ale calculului diferențial constă în determinarea derivatei unei funcții date. Diverse probleme din...

Teoreme generale în dinamica punctului material

Lucrul mecanic este o mărime fizică definită ca produsul dintre componenta forței care acționează asupra unui corp în direcția deplasării punctului...

Metoda Baleiajului Ortogonal Diferential pentru Rezolvarea Ecuatiilor Diferentiale Ordinare

Motto O lucrare trebuie să fie precum fusta unei femei: nu prea lungă, ca să nu plictisească, dar suficient de scurtă ca să atragă atenţia....

Geometrie Computațională

1. Complemente de geometrie si metode de aproximare 1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine. Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea...

Matematica Financiara

OBIECTUL MATEMATICILOR FINANCIARE (INTRODUCERE) Direct sau indirect, imediat sau dupa un anumit timp, eforturile si efectele unei activitati...

Matematica pentru economisti. Probabilitate

Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...

Elemente de Teoria Erorilor

Numere aproximative. Erori a) Sursele si clasificarea erorilor. În rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de...

Te-ar putea interesa și

Analiza și Cercetarea Concurențiilor Întreprinderii Elko pe Piața IT

Concurenta reprezinta un fenomen deosebit de important pentru sanatatea unei economii, intrucat ea genereaza motive pentru ca actorii unei piete sa...

Analiza Performantei Portofoliului de Titluri Financiare

I. INTRODUCERE " Motivatie Pentru demararea oricarei activitati si finalizarea ei cu succes este mereu nevoie de o motivatie. Prin acest subpunct...

Analiza Cheltuielilor și Veniturilor Olandei în Perioada 2000-2009

1. Analiza cheltuielilor bugetare 1.1 Date absolute 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Medie Maxim Minim Total 184612 203063 214960...

Analiza Diagnostic în Domeniului Resurselor Umane

1 Prezentarea Societatii comerciale 1.1 Scurt istoric si date de identificare SC Humanset SRL este o societate cu capital privat, cu raspundere...

Analiza Bugetara Slovenia

1. Analiza cheltuielilor bugetare COFOG Analiza cheltuielilor bugetare COFOG reprezintă împărţirea cheltuielilor bugetare prin prisma funcţiilor...

Analiza sistemului de extracție cu pompe elicoidale cu studiul etanșării rotor-stator

INTRODUCERE In stadiul actual al necesitatii in continua crestere de surse de energie , industria extractiva de hidrocarburi reprezinta unul din...

Analiza Comparativa a Strategiilor de Marketing Google vs Yahoo

Capitolul 1: Descrierea firmelor 1.1 Google Misiunea Google este de a organiza informaţiile lumii şi de a le face accesibile şi utile la nivel...

Analiza Activitatii si Dezvoltarea SC Electroncis SA

Capitolul I Prezentarea Generală a SC. Eelctronics S.A. 1.1 Scurt istoric Firma are ca principal obiectiv satisfacţia şi confortul clientului,...

Ai nevoie de altceva?