Analiză Matematică

Curs 1

Relatii. Corpul numerelor reale

1 Relatii

Notiunea matematica de relatie are un grad mare de generalitate. Definirea si dezvoltarea

acestei notiuni presupune raportarea la o serie de concepte matematice

elementare precum: element, multime, submultime, apartenenta la o multime, incluziune,

operatii cu multimi, pereche ordonata, produs cartezian. Vom porni de

la premiza ca toate acestea sunt cunoscute. Deasemenea vom presupune cunoscute

elementele de baza ale calculului propozitiilor si predicatelor, cu simbolistica uzuala.

Definitia 1.1. Un triplet R = (A;B;GR) unde A si B sunt doua multimi nevide,

iar GR este o submultime a produsului cartezian A  B ; se numeste relatie intre

multimile A si B.

Multimea GR  A  B se numeste graficul relatiei R:

Fiind data o relatie R = (A;B;GR); vom spune ca elementul a 2 A este in

relatia R cu elementul b 2 B si vom nota aRb; daca (a; b) 2 GR: In cazul

particular B = A vom spune ca R este o relatie pe multimea A. In cele ce

urmeaza vom prezenta c^ateva din principalele tipuri de relatii.

1.1 Relatii pe o multime

Pentru a indica inzestrarea unei multimii A cu o relatie R = (A; A;GR) vom utiliza

in general notatia (A;R): O relatie pe o multime se poate bucura de o serie de

proprietati elementare. Definirea axiomatica a acestora este realizata prin enuntul

urmator.

Definitia 1.2. Fie (A;R): Relatia R se numeste:

- re

exiva, daca (8) a 2 A aRa

- simetrica, daca (8) a; b 2 A aRb ) bRa

- antisimetrica, daca (8) a; b 2 A aRb ^ bRa ) a = b

- tranzitiva, daca (8) a; b; c 2 A aRb ^ bRc ) aRc

- totala, daca (8) a; b 2 A aRb _ bRa

Cele mai importante relatii pe o multime sunt cele de echivalenta si respectiv de

ordine.

Definitia 1.3. O relatie R definita pe o multime A se numeste relatie de echivalenta

daca este re

exiva, simetrica si tranzitiva.

Simbolurile utilizate in general pentru indicarea relatiilor de echivalenta sunt

urmatoarele: =; ;; = ; :

Fie (A;) o multme inzestrata cu o relatie de echivalenta. Pentru fiecare element

a 2 A; definim multmea:

ea = fx 2 Aj x ag

numita clasa de echivalenta a elementului a, relativ la relatia " ":

Definitia 1.4. O familie F  P(A) de submultimi (parti) ale multimii A se

numeste partitie a multimii A daca satisface proprietatile:

1) (8) X 2 F X 6= ;

2) (8) X; Y 2 F X Y 6= ; ) X = Y

3) [X2FX = A

Pentru (A;); sa notam:

A= = f ea j a 2 Ag

multimea claselor de echivalenta ale multimii A relativ la relatia " ":

O proprietate importanta a multimii claselor de echivalenta este evidentiata de

teorema urmatoare.

Teorema 1.1. Multimea claselor de echivalenta A=; relativ la o relatie " " de

echivalenta pe multimea A, reprezinta o partitie a multimii A.

O atentie speciala vom acorda in continuare relatiilor de ordine.

Definitia 1.5. O relatie R definita pe o multime A se numeste relatie de ordine

daca este re

exiva, antisimetrica si tranzitiva.

Simbolurile utilizate in general pentru indicarea relatiilor de echivalenta sunt

urmatoarele: ; ; ; v;  :

O multime A inzestrata cu o relatie de ordine  se numeste multime ordonata

si se noteaza (A;): Daca relatia de ordine  este totala atunci multimea A se

numeste total ordonata; in caz contrar, multimea A se numeste partial ordonata.

Mentionam deasemenea urmatoarele notatii conventionale:

a b , b  a; a < b , a  b ^ a 6= b; a > b , a b ^ a 6= b:

Prezentam in continuare c^ateva notiuni fundamentale legate de conceptul de

marginire in multimi ordonate.

Definitia 1.6. Fie (A;) o multime ordonata si X  A o submultime nevida a

multimii A.

Un element a 2 A se numeste:

- majorant al multimii X, daca: (8) x 2 X x  a

- minorant al multimii X, daca: (8) x 2 X a  x

- cel mai mare element al multimii X, daca apartine multimii X si este un

majorant al acestei multimi

- cel mai mic element al multimii X, daca apartine multimii X si este un

minorant al acestei multimi

- marginea superioara (supremumul) multimii X, daca este cel mai mic

majorant al multimii X

- marginea inferioara (infimumul) multimii X, daca este cel mai mare minorant

al multimii X

Multimea X se numeste marginia daca admite cel putin un minorant (este minorata)

si respectiv cel putin un majorant (este majorata), adica: