Analiză Matematică

CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE

1.1. Noţiuni de topologie

Clase speciale de spaţii topologice

Definiţie. Fie Χ ≠ φ ,Τ ⊂ Ρ(X ).Spunem că Τ este o topologie pe X dacă :

1. φ ,Χ∈Τ ;

2. ( ) , ; 1 2 1 2 ∀ Τ Τ ⇒Τ ∩Τ ∈Τ

3. (∀)(Τ ) ∈Τ⇒ ∪Τ ∈Τ.

i i∈I i∈I i

Elementul lui T se numesc mulţimi deschise iar cuplul ( X, T ) se numeşte spaţiu topologic.

Complementara unei mulţimi deschise se numeşte mulţime închisă.

Definiţie. Fie Χ ≠φ . O funcţie d : X × X → R+ cu proprietăţile :

1. ( ) 0 ; 1, 2 1 2 d x x = ⇔ x = x

2. ( ) ( ); 1, 2 2, 1 d x x = d x x

3. ( ) ( ) ( );

, , 1, 2 1 3 3 2 d x x ≤ d x x + d x x

see numeşte metrică ( distanţa ) iar ansamblul ( X, d ) se numeşte spaţiu metric.

Definiţie. Fie ( X, d ) un spaţiu metric, x ∈ X 0 şi r > 0.

Mulţimea D(x r) {x X d(x x ) r} o = ∈ < 0 , : , se numeşte discul deschis centrat în 0 x de rază r.

Teorema. Fie ( X, d) un spaţiu metric. Atunci

Τ = ∪{Τ ⊂ Χ (∀)x∈Τ (∃)r > o D(x r)⊂ Τ} d φ : , : , este o topologie pe X, deci orice spaţiu

metric este un spaţiu topologic.

Demonstraţie :

1. Din construcţia lui d Τ avem că . d φ ∈Τ Apoi este evident că d Χ∈Τ pentru că

(∀)x∈Χ, (∀)r > o avem D(x, r)⊂ Χ.

2. Fie , . 1 2 Τ Τ ∈Τ Fie . 1 2 ∈Τ ∩Τ Rezultă că 1 x∈Τ şi 2 x∈Τ şi deci ( ) ( ) 1 1 1 ∃ r > 0 : D x, r ⊂ Τ

şi ( ) 0 : ( , ) . 2 2 2 ∃ r > D x r ⊂ Τ Alegem { } 1 2 r = min r , r şi obţinem ( , ) . 1 2 D x r ⊂ Τ ∩Τ

3. Fie {Τ } ⊂ Τ. i i∈I Fie . i x∈∩Τ Rezultă că există : . 0 i0 i ∈ I x ⊂ Τ

Atunci avem că există ( ) 0 0 : , i r > D x r ⊂ Τ şi deci ( , ) . i I i

D x r ⊂ ∪Τ

∈

3

Definiţie. Fie ( X, +, · ) un spaţiu liniar. Se numeşte normă pe X o aplicaţie II·II : X→R cu

proprietăţile:

1. x ≥ 0(∀)x∈Χ şi x = 0⇔ x = 0;

2. λx = λ x ;(∀)x∈Χ;

3. x + y ≤ x + y ;(∀)x, y∈Χ

Ansamblul (Χ ) se numeşte spaţiu normat.

Teorema. Fie (Χ, ) un spaţiu normat. Atunci aplicaţia

( ) 1 2 1 2 d : Χ×Χ→ R d x , x = x − x + este o distanţă pe X, deci orice spaţiu normat este un

spaţiu metric.

1.2.NOŢIUNI DE TOPOLOGIE

Demonstraţie :

1. ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 d x , x = 0⇔ x − x = 0⇔ x − x = 0⇔ x = x

2. ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 d x , x = x − x = − x − x = x − x = d x , x

3.

( ) ( ) ( )

( ) ( ).

, ,

,

1 3 3 2

1 2 1 2 1 3 3 2 1 3 3 2

d x x d x x

d x x x x x x x x x x x x

= +

= − = − + − ≤ − + −

Observaţie. În particular, pe R aplicaţia d(x x ) Ix x I 1 2 1 2 , = − este o distanţă, iar ( R, d ) este

un spaţiu metric. Topologia generată de această metrică este familia reuniunilor arbitrare de

intervale deschise ( a, b ) din R şi este numită topologia euclidiană ( uzuală sau naturală ).

Definiţie. Fie ( X, +, · ) un spaţiu liniar.