Cuprins
- CUPRINS 5
- CAPITOLUL I RELAŢII MULŢIMI NUMĂRABILE ŞI NENUMĂRABILE 7
- 1. Relaţii. Definiţie. Proprietăţi generale 7
- 2. Tipuri de relaţii 8
- 3. Numere cardinale 10
- 4. Exerciţii rezolvate 12
- CAPITOLUL II SPAŢIU TOPOLOGIC. SPAŢIU METRIC. SPAŢIU BANACH 19
- 1. Spaţiu topologic 19
- 2. Caracterizarea topologică a punctelor unei mulţimi 21
- 3. Spaţiu metric 23
- 4. Normă. Spaţiu vectorial normat 25
- 5. Exerciţii rezolvate 29
- CAPITOLUL III CARACTERIZAREA TOPOLOGICĂ A MULŢIMILOR. ŞIRURI ÎN
- SPAŢII TOPOLOGICE, ŞIRURI ÎN SPAŢII METRICE, ŞIRURI ÎN SPAŢII
- VECTORIALE NORMATE. 39
- 1. Mulţimi mărginite 39
- 2. Tipuri de mulţimi 44
- 2.1. Mulţimi compacte 44
- 2.2. Mulţimi conexe 45
- 3. Şiruri în spaţii topologice, spaţii metrice, spaţii vectoriale normate 46
- 5. Subşiruri. Principiul contracţiei 54
- 6. Exerciţii rezolvate 58
- CAPITOLUL IV SERII 69
- 1. Serii. Generalităţi 69
- 2. Serii cu termeni pozitivi 73
- 3. Serii cu termeni oarecare 83
- 4. Exerciţii rezolvate 89
- CAPITOLUL V ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 103
- 1. Şiruri de funcţii 103
- 2. Serii de funcţii 110
- 3. Serii de puteri 114
- 4. Formula Taylor pentru polinoame şi funcţii 118
- 5. Seria Taylor 123
- 6. Exerciţii rezolvate 130
- CAPITOLUL VI FUNCŢII REALE ŞI FUNCŢII VECTORIALE 145
- 1. Limită. Definiţii. Proprietăţi generale 145
- 2. Continuitatea 151
- 3. Exerciţii rezolvate 159
- CAPITOLUL VII DERIVATA ŞI DIFERENŢIALA 171
- 1. Derivata 171
- 2. Diferenţiala 184
- 3. Unele aplicaţii ale diferenţialei 190
- 4. Exerciţii rezolvate 199
- CAPITOLUL VIII FUNCŢII IMPLICITE. DEPENDENŢĂ FUNCŢIONALĂ.
- SCHIMBĂRI DE VARIABILĂ 225
- 1. Funcţii implicite 225
- 2. Sisteme de funcţii implicite 233
- 3. Dependenţă funcţională 236
- 4. Extreme condiţionate 241
- 5. Schimbări de variabilă şi funcţii 247
- 6. Exerciţii rezolvate 253
- CAPITOLUL IX EXERCIŢII PROPUSE 269
- BIBLIOGRAFIE 299
Extras din curs
1. Relaţii. Definiţie. Proprietăţi generale
Se consideră cunoscute noţiunile de: mulţime, clasă, operaţii cu mulţimi şi
logică matematică.
Definiţia 1.1.1. Fie A şi B două mulţimi oarecare. Se numeşte relaţie de
corespondenţă între mulţimile A şi B tripletul notat astfel: ℜ = (G;A;B ) unde:
G = A ×B , numit graficul (graful) relaţiei ℜ;
A - domeniul de definiţie sau sursa relaţiei ℜ ;
B - codomeniul sau adresa relaţiei ℜ ;
Observaţia 1.1.1.
a) Dacă B ≡ A atunci relaţia ℜ este notată cu (G,A ) şi se numeşte
relaţie în A , iar graficul său este mulţimea G ⊆ A 2
b) (x , y )∈G dacă şi numai dacă xℜy ;( x este în relaţia ℜcu y );
c) (x , y )∉G dacă şi numai dacă xℜy ;( x nu este în relaţia ℜcu y );
d) Fie P (A ×B ) numărul părţilor mulţimii A ×B Mulţimea tuturor
relaţiilor ℜ = (G;A;B ) este în corespondenţă biunivocă cu
mulţimea P (A ×B )
e) Dacă cardA = n , atunci cardP(A) = 2n Într-adevăr k
n C prin definiţie
reprezintă mulţimea tuturor submulţimilor cu k elemente formate
dintr-o mulţime cu n elemente şi 0 1 k n 2n
n n n n C +C + +C + +C =
Exemplu:
a) A = {1, 2,3}, P (A ) = {1,{1},{2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3},{1, 2,3}}
{2}∈P (A ) , {2} ⊂ A , 2∈A
b) Dacă M este o mulţime şi P (M ) mulţimea părţilor lui M , atunci
mulţimea G = {(a,A )∈A ×P (M ) a∈A} este graficul relaţiei de
apartenenţă.
Definiţia 1.1.2. Fie A şi B două mulţimi oarecare şi ℜ = (G;A;B ) o
relaţie între cele două mulţimi. Se numeşte relaţie inversă (reciprocă sau
simetrică) a relaţiei ℜ relaţia ℜ−1 = (G−1;B; A) definită astfel:
(x , y )∈G −1 dacă şi numai dacă (x , y )∈G sau yℜ−1x dacă şi numai dacă
xℜy
Definiţia 1.1.3. Fie A, B, C trei mulţimi oarecare şi ( ) 1 1ℜ = G ;A;B şi
( ) 2 2ℜ = G ;B;C două relaţii oarecare. Relaţia 2 1 ℜ = ℜ ????ℜ , dată de tripletul
(G,A,C ), în cazul în care există, se numeşte compusa relaţiilor 1 ℜ şi 2 ℜ şi
este definită astfel:
xℜz dacă şi numai dacă există y∈B astfel încât 1 xℜ y şi 2 yℜ z
Propoziţia 1.1.1. Dacă ( ) 1 1ℜ = G ;A;B , ( ) 2 2ℜ = G ;B ;C şi există
2 1 ℜ = ℜ ????ℜ , atunci există ℜ−1 şi are loc relaţia:
1 ( ) 1 1 1
2 1 1 2
ℜ− = ℜ ????ℜ − = ℜ− ????ℜ−
Propoziţia 1.1.2. Compunerea relaţiilor este o operaţia asociativă, adică,
dacă 1 2 3 ℜ , ℜ , ℜ sunt relaţii care se pot compune în ordinea 3 2 1 ℜ ????ℜ ????ℜ atunci:
( ) ( ) 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ℜ ????ℜ ????ℜ = ℜ ???? ℜ ????ℜ = ℜ ????ℜ ????ℜ
Observaţia 1.1.2. Relaţia este generalizarea noţiunii de funcţie, adică:
Fie ℜ = (G;A;B ) o relaţie care verifică proprietatea:
xℜy şi xℜz rezultă y = z , atunci relaţia ℜ este funcţia f : A →B
2. Tipuri de relaţii
Aici se definesc câteva tipuri de relaţii care sunt foarte întâlnite în practică.
Definiţia 1.2.1. Dacă ℜ = (G,A ) îndeplineşte următoarele proprietăţi:
10 xℜy implică yℜx , pentru orice x , y ∈A (simetria);
20 xℜx , pentru orice x ∈A (reflexivitatea);
30 xℜy şi yℜz implică xℜz , oricare ar fi x , y , z ∈A (tranzitivitatea),
atunci ℜ se numeşte relaţie de echivalenţă în mulţimea A
Definiţia 1.2.2. Dacă relaţia ℜ = (G,A ) verifică proprietatea [xℜy şi
yℜx , implică x = y ] atunci relaţia ℜ este o relaţie antisimetrică.
Definiţia 1.2.3. O relaţie ℜ definită în mulţimea A care este reflexivă şi
antisimetrică se numeşte relaţie de preordine.
Bibliografie
Craiu M., Tănase V., Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti, 1974
2. Demidovitch B., Recueil d’exercices et problemes d’analyse
mathematique, Editions Mir, Moscou, 1970
3. Dogaru Gh., Colţescu I., Exerciţii şi probleme de analiză matematică,
Institutul de Marină ”Mircea cel Bătrân”, Constanţa, 1990
4. Flondor D., Donciu N., Culegere de probleme - Algebră şi analiză
matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979
5. Flondor P., Stănăşilă O., Lecţii de analiză matematică, Editura ALL,
Bucureşti, 1993
6. Niculescu M., Dinculeanu N., Marcus S., Analiză matematică, vol. I şi II,
Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971
7. Roşculeţ M., Culegere de probleme de analiză matematică, Editura
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968
8. Roşculeţ M., Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,
1984
9. Dogaru Gh., Colţescu I., Analiză matematică. Calcul diferenţial, Editura
Academiei Navale “Mircea cel Bătrân”, Constanţa, 1998
10. Dogaru Gh., Andrei T., Colţescu I., Exerciţii şi probleme de analiză
matematică, vol. I, Academiei Navale “Mircea cel Bătrân”, Constanţa, 1990
Preview document
Conținut arhivă zip
- Analiza matematica.pdf
Alții au mai descărcat și
INTRODUCERE Rezolvarea ecuaţiilor algebrice este una dintre cele mai importante probleme ale matematicii şi a constituit multă vreme obiectul...
INTRODUCERE Teoria ecuaţiilor diferenţiale¸ reprezintă unul din domeniile fundamentale ale matematicii cu largi aplicaţii în tehnică, ca de...
Motto O lucrare trebuie să fie precum fusta unei femei: nu prea lungă, ca să nu plictisească, dar suficient de scurtă ca să atragă atenţia....
Fie D un domeniu mărginit, de arie măsurabilă finită din planul xOy și o funcție reală de două variabile reale definită și mărginită pe D. Se...
1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară 0 0 cos − = 1 , y( ) = x y' y tgx Soluţie: Ecuaţia omogenă ataşată este:...
Fie V un K - spațiu vectorial n-dimensional și A ∈ TK (V) un operator liniar. Definitie : Un vector x ∈ V , x ≠ 0 se numește vector propriu al...
Te-ar putea interesa și
INTRODUCERE Societatea în care trăim s-a dezvoltat cu paşi uriaşi în ultimul secol. Aceşti paşi progresivi care au evoluat toate împrejurările cu...
Introducere Noțiunea de limită este indispensabilă în definirea și studiul conceptelor de bază ale analizei matematice: continuitatea,...
Tema de Proiect Sa se dimensioneze tehnologic un reactor de fabricare a PVC prin procedeul de polimerizare in suspensie. Date initiale...
INTRODUCERE În analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a...
TEMA 1. CONCEPTE DE BAZĂ UTILIZATE ÎN ANALIZA STATISTICĂ Deciziile de zi cu zi se realizează, de cele mai multe ori, pe baza unor informaţii...
I. INTRODUCERE I.1. Prezentare generală a MathCad-ului Produsul software sau sistemul de programare MathCad este un instrument destinat...
Curs 1 Relatii. Corpul numerelor reale 1 Relatii Notiunea matematica de relatie are un grad mare de generalitate. Definirea si dezvoltarea...
INTRODUCERE Matematica se foloseşte în economie de la începutul secolului al XIX-lea. Matematica a adus rigurozitate şi precizie în analiza...