Analiza matematică

OBIECTIVELE Unității de învățare Nr. 1

Principalele obiective ale Unității de învățare Nr. 1 sunt:

- Recapitularea noțiunilor de bază ale analizei matematice din liceu

- Însușirea aparatului de calcul din analiza matematică de liceu

Mulțimi

1.1 Mulțimi

Dacă elementul x se află printre elementele mulțimii A vom scrie x A și

citim x aparține mulțimii A. În caz contrar scriem x A și citim x nu

aparține mulțimii A. Notăm cu  mulțimea vidă (fără nici un element).

Definiție

Dacă A, B sunt două mulțimi atunci:

1) A este inclusă în B și notăm A  B  x A- xB ;

2) A  B  A  B și B  A;

3) intersecția mulțimilor A și B este mulțimea

A B  x | x A și x B- ;

4) reuniunea mulțimilor A și B este mulțimea

A B  x | x A sau x B- .

Dacă X este o mulțime atunci mulțimea submulțimilor acestei mulțimi se

notează PX   A | A  X- , (mulțimea părților lui X).

Dacă  - n X a , a ,..., a 1 2  este o mulțime finită atunci P(X) este o mulțime

cu 2n elemente, de aceea o altă notație pentru P(X) este 2X.

Exemplu

Dacă  - 1 2 3 X  a , a ,a , atunci

   - , - , - , - , , - , , - , , - , , , - - . 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 P X   a a a a a a a a a a a a

Definiție

Dacă A1, A2 sunt două mulțimi se numește produsul cartezian al mulțimii

A1 cu mulțimea A2 mulțimea

  - 1 2 1 2 1 1 2 2 A - A  a ,a | a  A ,a  A .

Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

10

Exemplu

R2  R- R  x, y| x, yR- ;

R3  R- R- R  x, y, z| x, y, zR- ;

x x x  x i n- n i

n ... , ,..., | , 1,..., 1 2 R  R- R- R- - R  R  .

Dacă A și B sunt două mulțimi atunci mulțimea

A B  x | x A și x B-

se numește diferența celor două mulțimi.

Dacă X  și A  X atunci complementara lui A în raport cu X este

mulțimea C A x x X X  |  și x A- .

Test de autoevaluare 1.1 - Scrieți răspunsul în spațiul liber din chenar.

Fie familia de mulțimi         A P X X i i I , . Aratati ca următoarea

egalitate este adevărată:

 

i I

X i

i I

X i C A C A

 

  





 -



Răspunsul la test se găsește la pagina .

Funcții

1.2 Funcții Definiție

Fiind date mulțimile nevide X și Y, se numește funcție definită pe X cu

valori în Y o relație binară f  X - Y cu proprietățile:

1)  x X , yY astfel încăt x, y f ;

2) Dacă     1 2 1 2 x, y  f , x, y  f - y  y .

Dacă f este o funcție de la X la Y și x, y f atunci vom scrie y  f x.

Elementul y se numește imaginea lui x prin funcția f sau valoarea lui f în

punctul x. X se mai numește și domeniul funcției f.

Remarcăm de asemenea că noțiunea de funcție presupune trei elemente:

1) X, domeniul de definiție al funcției;

2) Y, mulțimea de valori a funcției sau codomeniul;

3) relația care asociază oricărui element x X un unic element yY .

Precizăm că în locul termenului de funcție se mai folosesc și termenii de

aplicație, transformare, operator.

Dacă f : X - Y este o funcție și A  X , mulțimea

f A  f xY | x A-

Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

11

se numește imaginea lui A prin f , iar dacă B  Y , mulțimea

f - 1 B  x X | f x B-

se numește imaginea reciprocă sau preimaginea prin funcția f a mulțimii

B.

Definiție

Dacă f1, f2 sunt două funcții 1 1 1 f : X - Y și 2 2 2 f : X - Y , atunci spunem

că f1 și f2 sunt egale   1 2 f  f dacă și numai dacă

1) 1 2 X  X ;

2) 1 2 Y  Y ;

3)   x X f x f x 1 1 2   -  .

Definiție

Fie f : X - Y o funcție. Spunem că:

1) f este injectivă dacă  x x  X 1 2 , ,     1 2 1 2 x  x - f x  f x ;

2) f este surjectivă dacă  yY ,  x X astfel încât f x  y ;

3) f este bijectivă dacă f este injectivă și surjectivă;

4) f este inversabilă dacă  g :Y - X astfel încât X g - f  1 și

Y f - g  1 ;

În loc de

rezumat

Am ajuns la sfârșitul Unității de învățare Nr. 1.

Vă recomand să faceți o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în

această unitate și să revizuiți obiectivele precizate la început.

Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învățare

Nr. 1 pe care urmează să o transmiteți tutorelui.

Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

12

Lucrare de verificare Unitate de învățare Nr. 1

Să se arate că:   

i I

X i

i I

X i C A C A

 

  





 -



Răspunsurile și comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 1.1

Să arătăm că avem  

i I

X i

i I

X i C A C A

 

  





 -



. Fie

 i X i

i I

i

i I

X i A C x A x A x A C x  -  -  -  





 -





 

  ,

  

I i

X i i I x C A



  -  . Invers, dacă X i

i I

X i x C A - xC A

 

,

  i A x I i  -   ,    





 -



  -  - 

 

 

i I

X i

i I

i i I x A x C A .

Bibliografie Unitate de învățare Nr. 1

1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si

matematici speciale”, Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004

2. Chirita S. - “Probleme de