Ecuații

Curs
8/10 (2 voturi)
Domeniu: Matematică
Conține 4 fișiere: pdf
Pagini : 32 în total
Cuvinte : 8977
Mărime: 794.60KB (arhivat)
Cost: Gratis

Cuprins

Ecuatii diferentiale de ordinul intai

Ecuatii diferentiale liniare de ordin superior

Ecuatii diferentiale liniare cu coeficenti constanti

Sisteme de ecuatii diferentiale de ordinul intai

Extras din document

1. Introducere în teoria ecuaţiilor diferenţiale ordinare Fie y(x) o funcţie de variabila independent x. Notăm prin y’, y’’,…, y(n) derivatele succesive ale lui y în raport cu x. Orice relaţie de egalitate care conţine cel puţin una din aceste derivate se numeşte ecuaţie diferenţială ordinară. Observaţia 1. Termenul ,,ordinar” distinge ecuaţiile diferenţiale ordinare de cele cu derivate parţiale care conţin două sau mai multe variabile independente, o funcţie de aceste variabile şi derivatele parţiale corespunzătoare. Deoarece în acest curs vom studia numai ecuaţiile diferenţiale ordinare, le vom spune simplu ecuaţii diferenţiale. Definiţia 1. O relaţie de forma F(x,y,y’,…,y(n)) = 0, (1) unde F : D Rn+2 R, se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n. Observaţia 2. Ordinul unei ecuaţii diferenţiale este dat de derivata de cel mai mare ordin pe care o conţine. Relaţia (1) se numeşte forma generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n. În plus, dacă ecuaţia (1) se poate rezolva în raport cu y(n), adică y(n) = f(x,y,y’,…,y(n-1)) (2) unde f :  Rn+1 R, atunci relaţia (2) se numeşte forma normală a ecuaţiei diferenţiale de ordinul n.

Exemple.

y(4) - x2y(3) + 4xy’’ – 3y’ + 2xy - ex = 0 este o ecuaţie diferenţială de ordinul 4, sub formă generală. Explicitând pe y(4), obţinem forma normală y(4) = x2y(3) - 4xy’’ + 3y’ - 2xy + ex .

Tema.

Precizaţi ordinul ecuaţiei diferenţiale (y’)2 – xy’ + y = 0.

În continuare, ne propunem să rezolvăm ecuaţia diferenţială (1), adică să determinăm soluţia acesteia. Definiţia 2. Funcţia  : I R R,   Cn(I), se numeşte soluţie a ecuaţiei (1) dacă F(x, (x), ’ (x),…, (n) (x)) = 0 ,  x  I.

Definiţia 3. Funcţia y =  (x, c1, c2, …, cn) care verifică (1) în raport cu x, pentru orice valori c1,

c2, …, cn, se numeşte soluţie generală a ecuaţiei (1).

Prin particularizarea constantelor c1, c2, …, cn , numite constante de integrare, din soluţia

generală, se obţine o soluţie particulară. Orice soluţie care nu poate fi dedusă din soluţia

generală se numeşte soluţie singulară.

Exemple. 1. Ecuaţia (y’)2 – xy’ + y = 0 admite soluţia generală y(x) = cx – c2, care din

punct de vedere geometric reprezintă o familie de drepte şi orice soluţie

particulară se obţine prin particularizarea lui c. Spre exemplu, pentru c = 1 se

obţine soluţia particulară y = x – 1. În plus, ecuaţia admite soluţia singulară

4

2

x

y  care geometric, reprezintă o parabolă.

2. Integrând direct ecuaţia diferenţială y’ = x sau x

dx

dy

 se obţine

c

x

y x  

2

( )

2

. Deci, soluţia generală a acestei ecuaţii este dată de o familie de

parabole. Se extrage o parabolă din familie impunând acesteia să treacă printr-un

punct din plan, spre exemplu A(0,1), adică y(0) = 1. Astfel constanta c capătă

valoarea concretă c = 1 şi corespunzător ei, soluţia particulară 1

3. y = excosx este soluţie a ecuaţiei y’’ - 2y’ + 2y = 0. Într-adevăr,

y’ = ex(cosx - sinx)

y’’ = -2exsinx

care înlocuite în ecuaţia dată, o verifică identic

-2exsinx - 2ex(cosx - sinx) + excosx = 0.

Tema. Verificaţi dacă y = 2ex + 3xex este soluţie a ecuaţiei y’’ + 3y’ + 2y = 0.

Condiţiile suplimentare care se impun pentru determinarea constantelor de integrare se

numesc condiţii iniţiale sau condiţii Cauchy.

Definiţia 4. Se numeşte problemă Cauchy relativă la ecuaţia (2) ansamblul format din ecuaţia

diferenţială (2) cu condiţiile iniţiale

şi constă în determinarea unei soluţii particulare care verifică condiţiile iniţiale, unde x0, y0, y1,

…, yn-1 sunt numere date.

Deci, problema Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul n este

Preview document

Ecuații - Pagina 1
Ecuații - Pagina 2
Ecuații - Pagina 3
Ecuații - Pagina 4
Ecuații - Pagina 5
Ecuații - Pagina 6
Ecuații - Pagina 7
Ecuații - Pagina 8
Ecuații - Pagina 9
Ecuații - Pagina 10
Ecuații - Pagina 11
Ecuații - Pagina 12
Ecuații - Pagina 13
Ecuații - Pagina 14
Ecuații - Pagina 15
Ecuații - Pagina 16
Ecuații - Pagina 17
Ecuații - Pagina 18
Ecuații - Pagina 19
Ecuații - Pagina 20
Ecuații - Pagina 21
Ecuații - Pagina 22
Ecuații - Pagina 23
Ecuații - Pagina 24
Ecuații - Pagina 25
Ecuații - Pagina 26
Ecuații - Pagina 27
Ecuații - Pagina 28
Ecuații - Pagina 29
Ecuații - Pagina 30
Ecuații - Pagina 31
Ecuații - Pagina 32

Conținut arhivă zip

  • Curs1.pdf
  • Curs2.pdf
  • Curs3.pdf
  • Curs4.pdf

Alții au mai descărcat și

Ecuații algebrice

INTRODUCERE Rezolvarea ecuaţiilor algebrice este una dintre cele mai importante probleme ale matematicii şi a constituit multă vreme obiectul...

Testarea ipotezelor statistice

INTRODUCERE Un test statistic constă în obținerea unei deducții bazată pe o selecție din populație prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată...

Generarea Curbelor Plane

INTRODUCERE Prezenta lucrare de licenţă cu titlul “GENERAREA CURBELOR PLANE” face parte din geometria diferenţială. Lucrarea este structurată în...

Integrale prime pentru ecuații diferențiale

Introducere Teoria ecuaţiilor diferenţiale are un rol deosebit de important în matematică şi în alte domenii ale ştiinţei. Astfel la sfârşitul...

Integrale definite

INTRODUCERE În analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a...

Ecuații Diferențiale Liniare cu Coeficienți Constanți

INTRODUCERE Teoria ecuaţiilor diferenţiale¸ reprezintă unul din domeniile fundamentale ale matematicii cu largi aplicaţii în tehnică, ca de...

Funcții Trigonometrice

Capitolul I. Funcţii trigonometrice Sisteme de măsură pentru unghiuri şi arce În trigonometrie se utilizează două unităţi de măsură a...

Aplicația integralei duble

CAPITOLUL I. NOŢIUNII FUNDAMENTALE PRIVIND INTEGRALA DEFINITĂ. 1.1. Conceptul de integrală definită. 1.1.1. Definiţia şi proprietăţi. Fie...

Te-ar putea interesa și

Sisteme de Ecuatii

INTRODUCERE Ca urmare a gradului înalt de abstracţie atins de matematică în secolul nostru, există o tendinţă în fiecare dintre noi de a căuta să...

Ecuații Neliniare

1.INTRODUCERE Fie functia continua si derivabila. În rezolvarea ecuatiilor neliniare trebuie sa gasim un vector x pentru care f(x)=0, unde x= ....

Sisteme de Ecuatii Algebrice Liniare

Sisteme de ecuatii algebrice liniare 1.Generalitati Pentru a gasi solutia generala a unui sistem de ecuatii liniare AX = b: - se rezolva...

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metode directe și iterative

Metode directe pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice liniare Introducere In lucrare se prezinta principiul metodei si se analizeaza...

Proiect de Lectie - Rezolvarea in Multimea Numerelor Complexe a Ecuatiei de Gradul 2

I. PROIECT DE INSTRUIRE 1. Competente specifice Cod Continutul competentei specifice CS1 Identificarea caracteristicilor formei de scriere a...

Rezolvarea Ecuațiilor Diofantice

Rezolvarea Ecuatiilor Diofantice Orice Congruenta Ax1+cº0 (Mod B) Se Poate Scrie Ca O Ecuatie Ax1+bx2+c=0 (În Care A¹ 0), B³1 si C, X1, X2 Sunt...

Ecuatia Dreptei in Plan

Ecuatia dreptei in plan Fie o dreapta d si un punct M care nu apartine dreptei. Proiectia ortogonala a punctului M pe dreapta d este intersectia...

Metoda Baleiajului Ortogonal Diferential pentru Rezolvarea Ecuatiilor Diferentiale Ordinare

Motto O lucrare trebuie să fie precum fusta unei femei: nu prea lungă, ca să nu plictisească, dar suficient de scurtă ca să atragă atenţia....

Ai nevoie de altceva?