Extras din curs
Teoria probabilit˘at¸ilor este o teorie matematic˘a deductiv˘a, care
studiaz˘a fenomenele aleatoare de mas˘a. Aceste fenomene au proprietatea
de stabilitate a frecvent¸ei aparit¸iei lorˆın condit¸ii identice.
2.1 Cˆamp de evenimente
Definit¸ia 2.1 Se nume¸ste experiment (experient¸˘a) o operat¸ie
repetabil˘a ˆın condit¸ii date. Efectuarea unei experient¸e se nume¸ste
prob˘a. Rezultatul unei probe se nume¸ste eveniment.
S˘a consider˘am experient¸a arunc˘arii unui zar. Aceasta are o
mult¸ime de cazuri (sau rezultate posibile), = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.
Putem considera urm˘atoarele evenimente:
A: aparit¸ia unui num˘ar par;
B: aparit¸ia unui num˘ar impar;
C: aparit¸ia unui num˘ar · 3;
D: aparit¸ia num˘arului 5.
Dac˘a la o aruncare apare fat¸a 4, evenimentul A s-a realizat ¸si
6
B;C;D nu s-au realizat. Fiec˘arui eveniment ˆıi corespunde o mult
¸ime de cazuri favorabile, care este o submult¸ime a lui .
Evenimentului A ˆıi corespunde submult¸imea f2; 4; 6g, evenimentului
B ˆıi corespunde submult¸imea f1; 3; 5g, evenimentului C
ˆıi corespunde submult¸imea f1; 2; 3g ¸si evenimentului D ˆıi corespunde
submult¸imea f5g.
Putem scrie:
A = f2; 4; 6g;
B = f1; 3; 5g;
C = f1; 2; 3g;
D = f5g:
Evenimentele care au un singur caz favorabil se numesc evenimente
elementare. Evenimentul sigur este evenimentul care
se realizeaz˘a cu certitudine la orice prob˘a. Toate cazurile posibile
ale experient¸ei sunt favorabile acestui eveniment. Evenimentul
imposibil este contrarul evenimentului sigur. El nu are nici un
caz favorabil.
2.1.1 Eveniment implicat de alt eveniment
Definit¸ia 2.2 Evenimentul A implic˘a evenimentul B dac˘a realizarea
lui A atrage dup˘a sine realizarea lui B, adic˘a orice caz
care realizeaz˘a pe A realizeaz˘a pe B.
Rezult˘a de aici c˘a mult¸imea cazurilor favorabile lui A este inclus˘a
ˆın mult¸imea cazurilor favorabile lui B.
De exemplu, la aruncarea unui zar, dac˘a A = f1; 2; 3g; B =
f1; 2; 3; 4g se vede c˘a A implic˘a B, iar ca mult¸imi, A ½ B. Este
evident c˘a A ½ A, A ½ . Evenimentul imposibil implic˘a orice
eveniment (? ½ A).
Se folosesc urm˘atoarele notat¸ii:
- - evenimentul sigur;
- ? - evenimentul imposibil;
- A;B;C, , A1;A2;A3, , - evenimente oarecare;
- !1; !2; :::; !n sau f!1g; f!2g; :::; f!ng - evenimentele elementare
corespunz˘atoare unui experiment.
2.1.2 Operat¸ii cu evenimente
Fie A ¸si B dou˘a evenimente date.
A sau B este evenimentul a c˘arui realizare ˆınseamn˘a realizarea
cel put¸in a unuia din ele. Acest lucru se scrie A [ B.
A ¸si B este evenimentul a c˘arui realizare ˆınseamn˘a realizarea
ambelor evenimente A;B ¸si se scrie A B.
non A este evenimentul care se realizeaz˘a dac˘a nu se realizeaz˘a
A ¸si se noteaz˘a A¯.
Operat¸iile cu evenimente au urm˘atoarele propriet˘at¸i:
1: A [ A = A; 2: A [ = ; 3: A A = A; 4: A = A;
5: A [ ? = A; 6: A ? = ?; 7: A [ A¯ = ; 8: A A¯ = ?:
2.1.3 Evenimente incompatibile. Evenimente
compatibile
Evenimentele A ¸si B sunt incompatibile dac˘a nu se pot realiza
ˆımpreun˘a ˆın nici o efectuare a experient¸ei. De aici rezult˘a c˘a realizarea
unuia din cele dou˘a evenimente are ca urmare nerealizarea
celuilalt. Cu alte cuvinte, A ¸si B sunt incompatibile dac˘a ¸si numai
dac˘a realizarea evenimentului A ¸si B este imposibil˘a (adic˘a
A B = ?).
Evenimentele A ¸si B sunt compatibile dac˘a se pot realiza
ˆımpreun˘a ˆın aceea¸si prob˘a, adic˘a dac˘a au cel put¸in un caz favorabil
comun.
Preview document
Conținut arhivă zip
- Ecuatii Diferentiale.pdf