Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți

1. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi omogene

Forma generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordin n, liniare, cu coeficienţi constanţi, omogene este:

(1)

unde coeficienţii , iar este funcţia reală de o variabilă reală ( ) necunoscută (apare liniar ca atare şi în derivatele sale până la ordinul n inclusiv). Mulţimea soluţiilor ecuaţiei (1) formează o structură de spaţiu liniar (vectorial) real de dimensiune n. Pentru determinarea soluţiei generale a ecuaţiei (1) este necesară găsirea unei baze în acest spaţiu (formate din n soluţii liniar independente ale ecuaţiei). Căutând soluţii de forma

, (2)

din (1) se obţine ecuaţia caracteristică:

(3)

care este o ecuaţie algebrică de grad n cu coeficienţi reali. Această ecuaţie (3) are exact n rădăcini (în general complexe, simple sau multiple).După natura rădăcinilor se determină soluţiile liniar independente. Astfel:

Unei rădăcini reale simple: a ecuaţiei caracteristice (3) îi corespunde o singură soluţie liniar independentă a ecuaţiei (1): .

Unei rădăcini reale multiple de ordin de multiplicitate : a ecuaţiei caracteristice (3) îi corespund m soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1): .

Unei perechi de rădăcini complex conjugate simple : ale ecuaţiei caracteristice (3) îi corespunde o pereche de soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1): .

Unei perechi de rădăcini complex conjugate multiple de ordin de multiplicitate : ale ecuaţiei caracteristice (3) îi corespund 2m soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1):

Astfel celor n rădăcini ale ecuaţiei caracteristice (3) le corespund n soluţii liniar independente (soluţii fundamentale), care constituie baza spaţiului liniar (vectorial) al soluţiilor ecuaţiei (1):

(4)

Prin urmare, orice soluţie a ecuaţiei (1) se exprimă ca o combinaţie liniară a soluţiilor fundamentale (vectorii bazei). În concluzie, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (1) se scrie:

, (5)

unde sunt constante reale arbitrare.

Exemplul 1:

Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin doi, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia caracteristică este în acest caz: . Această ecuaţie de gradul al doilea are rădăcinile reale distincte: ( Formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul al doilea este ). Prin urmare soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este , unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.

Exemplul 2:

Rezolvare: Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este , unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.

Exemplul 3:

Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin trei, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia caracteristică este în acest caz cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este , unde C1, C2 ,C3 sunt constante reale arbitrare.

Exemplul 4:

Rezolvare: Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile complex conjugate . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este , unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.