Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți

Curs
8.7/10 (3 voturi)
Domeniu: Matematică
Conține 1 fișier: doc
Pagini : 10 în total
Cuvinte : 2116
Mărime: 219.41KB (arhivat)
Cost: Gratis
Profesor îndrumător / Prezentat Profesorului: Prof. Craciun Ion

Extras din document

1. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi omogene

Forma generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordin n, liniare, cu coeficienţi constanţi, omogene este:

(1)

unde coeficienţii , iar este funcţia reală de o variabilă reală ( ) necunoscută (apare liniar ca atare şi în derivatele sale până la ordinul n inclusiv). Mulţimea soluţiilor ecuaţiei (1) formează o structură de spaţiu liniar (vectorial) real de dimensiune n. Pentru determinarea soluţiei generale a ecuaţiei (1) este necesară găsirea unei baze în acest spaţiu (formate din n soluţii liniar independente ale ecuaţiei). Căutând soluţii de forma

, (2)

din (1) se obţine ecuaţia caracteristică:

(3)

care este o ecuaţie algebrică de grad n cu coeficienţi reali. Această ecuaţie (3) are exact n rădăcini (în general complexe, simple sau multiple).După natura rădăcinilor se determină soluţiile liniar independente. Astfel:

Unei rădăcini reale simple: a ecuaţiei caracteristice (3) îi corespunde o singură soluţie liniar independentă a ecuaţiei (1): .

Unei rădăcini reale multiple de ordin de multiplicitate : a ecuaţiei caracteristice (3) îi corespund m soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1): .

Unei perechi de rădăcini complex conjugate simple : ale ecuaţiei caracteristice (3) îi corespunde o pereche de soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1): .

Unei perechi de rădăcini complex conjugate multiple de ordin de multiplicitate : ale ecuaţiei caracteristice (3) îi corespund 2m soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1):

Astfel celor n rădăcini ale ecuaţiei caracteristice (3) le corespund n soluţii liniar independente (soluţii fundamentale), care constituie baza spaţiului liniar (vectorial) al soluţiilor ecuaţiei (1):

(4)

Prin urmare, orice soluţie a ecuaţiei (1) se exprimă ca o combinaţie liniară a soluţiilor fundamentale (vectorii bazei). În concluzie, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (1) se scrie:

, (5)

unde sunt constante reale arbitrare.

Exemplul 1:

Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin doi, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia caracteristică este în acest caz: . Această ecuaţie de gradul al doilea are rădăcinile reale distincte: ( Formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul al doilea este ). Prin urmare soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este , unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.

Exemplul 2:

Rezolvare: Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este , unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.

Exemplul 3:

Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin trei, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia caracteristică este în acest caz cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este , unde C1, C2 ,C3 sunt constante reale arbitrare.

Exemplul 4:

Rezolvare: Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile complex conjugate . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este , unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.

Preview document

Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți - Pagina 1
Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți - Pagina 2
Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți - Pagina 3
Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți - Pagina 4
Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți - Pagina 5
Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți - Pagina 6
Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți - Pagina 7
Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți - Pagina 8
Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți - Pagina 9
Ecuații Diferențiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienți Constanți - Pagina 10

Conținut arhivă zip

  • Ecuatii Diferentiale de Ordin Superior Liniare cu Coeficienti Constanti.doc

Alții au mai descărcat și

Integrale prime pentru ecuații diferențiale

Introducere Teoria ecuaţiilor diferenţiale are un rol deosebit de important în matematică şi în alte domenii ale ştiinţei. Astfel la sfârşitul...

Ecuații Diferențiale Liniare cu Coeficienți Constanți

INTRODUCERE Teoria ecuaţiilor diferenţiale¸ reprezintă unul din domeniile fundamentale ale matematicii cu largi aplicaţii în tehnică, ca de...

Geometrie Computațională

1. Complemente de geometrie si metode de aproximare 1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine. Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea...

Matematica Financiara

OBIECTUL MATEMATICILOR FINANCIARE (INTRODUCERE) Direct sau indirect, imediat sau dupa un anumit timp, eforturile si efectele unei activitati...

Matematica pentru economisti. Probabilitate

Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...

Matematici Speciale

FUNCT¸ II COMPLEXE 1.1 Mult¸imea numerelor complexe Mult¸imea numerelor complexe a apØarut din ˆincercarea de a extinde mult¸imea numerelor...

Elemente de Teoria Erorilor

Numere aproximative. Erori a) Sursele si clasificarea erorilor. În rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de...

Te-ar putea interesa și

Ecuații Diferențiale Liniare cu Coeficienți Constanți

INTRODUCERE Teoria ecuaţiilor diferenţiale¸ reprezintă unul din domeniile fundamentale ale matematicii cu largi aplicaţii în tehnică, ca de...

Oscilații și Unde

Miscarea unui corp este o miscare oscilatorie daca se repeta periodic în timp. Miscarea oscilatorie are loc în jurul unei pozitii de echilibru. O...

Subiectele pentru Examenul de Licenta Specialitatea - Informatica si Limbi Moderne Aplicate

ALGEBRA 1. Subgrup normal. Condiţii necesare şi suficiente ca un subgrup să fie normal. Grup factor. Exemple. 2. Morfisme de grupuri. Nucleul şi...

Matematici Speciale

Capitolul I FUNCŢII COMPLEXE 1. Să se determine funcţia olomorfă f(z) ştiind că partea reală a sa u(x,y)=ln(x2+y2) şi f(1)=0. Soluţie:...

Matematici Speciale

CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE 1. Ecuaţii diferenţiale. Soluţia generală. Soluţii particulare. Interpretarea geometrică. Exemple. Problema...

Probleme Matematici Speciale

1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară 0 0 cos − = 1 , y( ) = x y' y tgx Soluţie: Ecuaţia omogenă ataşată este:...

Matematici Speciale

CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI § 1. Definiţia ecuaţiilor diferenţiale. Generalităţi. Se consideră funcţia reală continuă...

Ai nevoie de altceva?