Elemente de Teoria Numerelor

1.1. Introducere

Noţiunea de corp a apărut în urma încercărilor de abstractizare şi de extindere la alte mulţimi a regulilor de calcul cu numere raţionale. Spre deosebire de inelul întregilor Z, inelul numerelor raţionale Q are proprietatea, esenţiala in definirea noţiunii de corp, că orice element diferit de 0 este inversabil. Astfel, dacă într-un inel avem o “adunare”, o “înmulţire” şi o “scădere”, care derivă din adunare, într-un corp avem în plus o “împarţire” prin elemente nenule care derivă din înmulţire.

1.2. Definiţie şi exemple remarcabile:

Definiţia 1: Un triplet ( K ; + ; ∙ ) se numeşte corp dacă sunt satisfăcute următoarele proprietaţi:

a) ( K ; + ; ∙ ) este inel;

b) 0 ≠ 1 (inelul K are cel puţin două elemente );

c) Orice element din K {0} este inversabil.

Definiţia 2: Corpul ( K ; + ; ∙ ) se numeşte corp comutativ (câmp) dacă, în plus, operaţia ” ∙” este comutativă.

Exemple:

1) Inelele comutative ( K ; + ; ∙ ) , unde K = Q, R sau C , sunt corpuri comutative deoarece U(K) = K*.

2) Un exemplu de corp necomutativ este corpul cuaternionilor, H

Fie inelul 2(C) al matricelor pătratice de ordin 2 peste corpul C şi H 2(C), unde

H =

Avem că H este un subinel al lui M2(C)

Într-adevăr, ţinând seama că suma, respectiv produsul conjugaţilor a două numere complexe este conjugatul sumei respectiv produsului numerelor, avem

i. şi

ii.

oricare ar fi

Aşadar H, împreună cu operaţiile obişnuite de adunare şi înmulţire a matricelor, este la rândul său un inel.

Matricea este elementul unitate a lui H.

Mai mult, H este corp. Într-adevăr, dacă

h = ,

atunci numărul real este nenul. Inversul lui h este

.

Deci H este un corp numit corpul cuaternionilor, elementele sale fiind numite cuaternioni.

Definim funcţia , prin , care este un morfism de corpuri, deci injectiv.

Aceasta ne permite să identificăm numărul real a cu cuaternionul

Notăm , , , a căror înmulţire este definită prin tabla

∙ i j k

i - 1 k - j

j - k - 1 i

k j - i - 1

Se observă că H este un corp necomutativ.

Dacă şi sunt numere complexe, putem scrie

= =

=

Deci orice cuaternion h poate fi scris, în mod unic, sub forma

h = , unde a, b, c, d sunt numere reale.

Este important să observăm că o ecuaţie cu coeficienţi în corpul necomutativ H poate să aiba mai multe rădăcini decât gradul său. De exemplu, i, j, k sunt rădăcini ale ecuaţiei , acest lucru nefiind posibil în cazul corpurilor comutative.

Problemă: Fie Q(i) = { x + yi x, y Q, i2 = - 1}. Să se arate că(Q(i), + ; ∙ ), unde + şi ∙ sunt adunarea respectiv înmulţirea numerelor complexe , este corp comutativ.

Soluţie:

Dacă z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i Q(i), atunci :

z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i Q(i),

z1z2 = ( x1 x2 - y1y2 ) + ( x1 y2 + y1x2 )i Q(i),

de unde rezultă că + şi ∙ sunt legi de compoziţie pe Q(i).

Adunarea şi înmulţirea sunt comutative şi asociative, iar înmulţirea este distributivă faţă de adunare deoarece aceste proprietăţi sunt valabile pe C.

0 = 0 + 0i Q(i) şi 1 = 1 + 0i Q(i) sunt elemente neutre faţă de adunare respectiv înmulţire.

Observând şi că orice z Q(i) are opusul – z , deducem că ( Q(i) ; + ; ∙ ) este inel comutativ cu 0 ≠ 1.

Rămâne să arătăm că pentru orice z Q(i), z = x + yi , z ≠ 0, există z Q(i) astfel încât z z = 1. Într-adevăr ,

z = = = = - i Q(i)

şi satisface zz = 1.