Funcții Reale de mai multe Variabile Reale

§.1.Funcţii reale de mai multe variabile reale

Structura topologică a spaţiului Rn

Fie X . Se numeşte distanţă (metrică) pe X, o funcţie d:XXR, cu proprietăţile:

1.  x,yX d(x,y) 0 şi d(x,y)=0  x=y ;

2.  x,yX d(x,y) = d(y,x) ;

3.  x,y,zX d(x,z) d(x,y) + d(y,z).

Perechea (X,d), cu X  şi d metrică pe X se numeşte spaţiu metric.

Pe aceeaşi mulţimea X se pot defini diverse metrice, deci mai multe structuri de spaţiu metric.

Fie (X,d) un spaţiu metric, x0X şi numărul real, oarecare, r0. Mulţimea

Br(x0)= { xX  d(x,x0) r }

se numeşte bilă deschisă cu centrul x0 şi rază r.

Se numeşte bilă închisă cu centrul în x0 şi rază r, mulţimea notată Br[x0] şi definită prin:

Br[x0] = { xX  d(x,x0)  r }.

În Rn distanţa dintre două puncte x=(x1,x2,…,xn) şi y=(y1,y2,..,yn) se poate defini ca fiind numărul real d(x,y) = . Aceasta se numeşte distanţa euclidiană dintre cele două puncte. Se poate verifica uşor că d este o metrică pe Rn. Pentru n=1 distanţa euclidiană este d(x,y)= , iar pentru n=2, d(x,y)= .

Fie (X,d) spaţiu metric şi x0X.Se numeşte vecinătate a lui x0, orice submulţime VX, pentru care există r 0, astfel încât Br(x0) V.

Definiţia 1.6. O submulţime DX se numeşte deschisă dacă x0D,  r  0 astfel încât Br(x0) D ( D este vecinătate pentru fiecare punct al său).

Pentru Rn, cu n=1, o bilă deschisă cu centrul în x0R este un interval deschis simetric faţă de x0, de forma (x0-r, x0+r) ; o bilă închisă este intervalul închis [x0-r, x0+r].

Pentru n=2, bila deschisă este un disc circular cu centrul în x0 şi raza r, iar bila închisă conţine şi circumferinţa împreună cu discul.

Pentru n=3, bila deschisă cu centrul în x0R şi rază r este interiorul sferei cu centrul în x0 şi rază r, bila închisă este formată din sferă şi interiorul ei.

Fie (X,d) spaţiu metric şi AX. Un punct xA se numeşte punct interior mulţimii A, dacă  r 0 astfel încât Br(x)  A.

Toate punctele interioare mulţimii A formează interiorul lui A , care se notează .

Fie (X,d) spaţiu metric şi AX. Un punct xX se numeşte punct aderent mulţimii A, dacă  r 0 Br(x)  A  .

Toate punctele aderente mulţimii A formează închiderea lui A, notată .

Mulţimea notată se numeşte frontiera ( bordul) lui A.

Un punct xX, aderent mulţimii A, cu proprietatea

 r 0 Br(x){x}  A  

se numeşte punct de acumulare al lui A.

Mulţimea punctelor de acumulare pentru A se notează A’ şi se numeşte mulţimea derivată a lui A.

O submulţime A a spaţiului metric (X,d) se numeşte mărginită dacă  r 0 şi x0X, astfel încât A  Br(x0).

O clasă importantă de spaţii metrice sunt spaţiile vectoriale normate.

Fie X/K spaţiu vectorial. Funcţia :XR, cu proprietăţile:

1. , xX şi  x=V ;

2. K, xX ;

3. , x,yX.

se numeşte normă pe X.

Un spaţiu vectorial X impreună cu o normă definită pe X se numeşte spaţiu normat.

Un spaţiu vectorial normat este un spaţiu metric cu distanţa indusă de norma sa astfel: d(x,y)= , x,yX.

Dacă X= Rn, n1, ,  x=(x1,x2,…,xn)Rn ; iar pentru n=1, ,  xR; astfel Rn este un spaţiu vectorial normat.