Geometrie Computațională

Curs
6.7/10 (3 voturi)
Domeniu: Matematică
Conține 3 fișiere: pdf
Pagini : 90 în total
Cuvinte : 33877
Mărime: 1.05MB (arhivat)
Cost: Gratis
Universitatea Hyperion

Extras din document

1. Complemente de geometrie si metode de aproximare

1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine.

Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea numerelor întregi, Q - multimea numerelor rationale, R - multimea numerelor reale si C - multimea numerelor complexe. Un spatiu vectorial real (respectiv complex) este o multime V pe care este definita o operatie interna, notata prin simbolul + si o operatie de înmultire cu elemente din R (resp. C) - numite scalari. Notam prin V ansamblul (V, +, . ), când multimea de scalari este fixata. Elementele multimii V se numesc vectori. Adunarea vectorilor este comutativa (i1), asociativa (i2), multimea V contine vectorul zero (i3) si orice vector are asociat un vector opus (i4):

(i1) u + v = v + u, oricare ar fi u, v V.

(i2) (u + v) + w = u + (v + w), oricare ar fi u, v, w V.

(i3) exista vectorul 0 V astfel încât u + 0 = 0 + u = u, oricare ar fi u V.

(i4) Pentru oricare u V exista un unic vector (în multimea V), notat

cu (-u), astfel încât: u + (-u) = 0.

Elementele multimii R (resp. C) se mai numesc scalari, deoarece descriu marimi care nu depind de vreun punct de referinta. Înmultirea cu scalari asociaza fiecarui vector v V si fiecarui scalar m R (resp. C), vectorul (m v) V si este supusa urmatoarelor axiome:

(i5) (m + n) u = m u + n u, oricare ar fi m, n R (resp. C) si u V.

(i6) m (u + v) = m u + m v, oricare ar fi m R (resp. C) si u, v V.

(i7) m (n u) = (m n) u, oricare ar fi m, n R (resp. C) si u V.

(i8) 1 u = u, oricare u V, unde 1 R (resp. C).

Axiomele (i5) si (i6) descriu faptul ca înmultirea vectorilor cu scalari este distribu-tiva fata de adunarea scalarilor, respectiv vectorilor. Axioma (i7) indica un tip de asociativitate cu care are de-a face atât înmultirea vectorilor cu scalari cât si înmultirea scalarilor.

În cadrul geometriei euclidiene, imaginea geometrica a unui vector este un segment de dreapta AB pe care este definit un sens de la A la B. Punctul A se numeste originea vectorului sau punctul sau de aplicatie, iar punctul B este extremitatea vectorului. Vectorul AB, din punct de vedere geometric, este caracterizat prin: originea A, suportul definit de dreapta AB, sensul de parcurs de la A la B si marimea sau modulul vectorului, care este lungimea segmentului AB (notata |AB|). Un vector pentru care aceste elemente sunt fixate se numeste vector legat. În grafica pe calculator, se utilizeaza vectorii alunecatori sau liberi, pentru care punctul de aplicatie nu mai are un rol esential.

Multimea vectorilor de pozitie dintr-un plan, cu originea într-un punct al acestuia este spatiu vectorial peste R în raport cu adunarea vectorilor (dupa regula paralelogramului) si înmultirea vectorilor cu scalari. Considerând multimea R3, a tripletelor de numere reale (x, y, z), se obtine un spatiu vectorial real definind:

u + v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) si

kw = (kx, ky, kz),

unde u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) si w = (x, y, z). Extinderea pentru multimea Rn este imediata.

Multimea matricelor Mmxn(R) - cu m linii, n coloane si elemente din multimea R - este spatiu vectorial real (peste R) în raport cu adunarea matricelor si înmultirea matricelor cu scalari:

A + B = (aij+bij)1didm, 1djdn,

kA = (kaij)1didm, 1djdn.

Multimea polinoamelor de grad cel mult n, în nederminata X se poate organiza ca un spatiu vectorial real daca consideram operatiile: adunarea polinoa-melor si înmultirea unui polinom cu un scalar:

p + q = (pn+qn)Xn+ ... + (p0+q0),

kp = kpnXn + kpn-1Xn-1+ .... + kp0,

unde: p = pnXn+pn-1Xn-1+...+p0, q = qnXn+qn-1Xn-1+...q0, iar k R.

De asemenea, polinoamele de forma:

a0(x2 + y2) + a1x + a2y + a3 = 0, cu a1, a2, a3 R (resp. C)

formeaza un spatiu vectorial, strâns legat de multimea cercurilor din plan.

Fie v1, v2, ..., vn vectori oarecari din spatiul V si n scalari k1, k2, ..., kn. O expresie de forma k1v1 + k2v2 + ... + knvn se numeste combinatie liniara a vectorilor considerati. Elementul rezultat în urma evaluarii expresiei este tot un vector (conform regulilor i1-i7). Multimea S a tuturor combinatiilor liniare ale vectorilor v1, v2, ..., vn se numeste spatiul generat de vectorii v1, v2, ..., vn. Este usor de vazut ca S este un spatiu vectorial peste R (resp. C). Vectorii v1, v2, ..., vn se numesc liniar independenti daca din k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0 (în V) rezulta k1 = k2 = ... = kn = 0 (în R, resp. C). În caz contrar, se afirma liniar dependenta sistemului de vectori v1, v2, ..., vn (peste R, resp. C).

Fie v1, v2, ..., vn o multime de vectori din V, iar S spatiul generat de acestia. Daca cei n vectori sunt liniar independenti, se spune ca ei formeaza o baza a spatiului S de dimensiune n. Deoarece acesti vectori genereaza spatiul S, rezulta ca oricare vector v din S se obtine ca o combinatie liniara a vectorilor v1, v2,, ..., vn. Deci, exista scalarii k1, k2, ..., kn, unic determinati, astfel încât:

v = k1v1+ k2v2 + ... + knvn.

În spatiul Rn, vectorii

e1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e2 = (0, 1, 0, ..., 0),

...,

en = (0, 0, ..., 1)

formeaza o baza a spatiului Rn, numita baza canonica, care permite descrierea unui vector v prin cele n coordonate carteziene: v = (x1, x2, …,xn) = x1e1+x2e2+… +xnen.

Consideram spatiul vectorial tridimensional, suficient de important pentru grafica si proiectarea asistate de calculator. Cele mai importante obiecte cu care se opereaza sunt cele de punct si vector (înteles ca vector liber). Punctul este precizat prin pozitia sa, vectorul are modul si directie, dar nu are o pozitie fixata în spatiu.

Geometric, desenam punctele planului prin “•“, iar vectorii prin segmente de dreapta terminate cu “’“. în general desenam vectorii pornind dintr-un punct,

dar nu trebuie sa uitam ca lucram cu vectori liberi. Notam punctele spatiului prin A, B, C, ..

Preview document

Geometrie Computațională - Pagina 1
Geometrie Computațională - Pagina 2
Geometrie Computațională - Pagina 3
Geometrie Computațională - Pagina 4
Geometrie Computațională - Pagina 5
Geometrie Computațională - Pagina 6
Geometrie Computațională - Pagina 7
Geometrie Computațională - Pagina 8
Geometrie Computațională - Pagina 9
Geometrie Computațională - Pagina 10
Geometrie Computațională - Pagina 11
Geometrie Computațională - Pagina 12
Geometrie Computațională - Pagina 13
Geometrie Computațională - Pagina 14
Geometrie Computațională - Pagina 15
Geometrie Computațională - Pagina 16
Geometrie Computațională - Pagina 17
Geometrie Computațională - Pagina 18
Geometrie Computațională - Pagina 19
Geometrie Computațională - Pagina 20
Geometrie Computațională - Pagina 21
Geometrie Computațională - Pagina 22
Geometrie Computațională - Pagina 23
Geometrie Computațională - Pagina 24
Geometrie Computațională - Pagina 25
Geometrie Computațională - Pagina 26
Geometrie Computațională - Pagina 27
Geometrie Computațională - Pagina 28
Geometrie Computațională - Pagina 29
Geometrie Computațională - Pagina 30
Geometrie Computațională - Pagina 31
Geometrie Computațională - Pagina 32
Geometrie Computațională - Pagina 33
Geometrie Computațională - Pagina 34
Geometrie Computațională - Pagina 35
Geometrie Computațională - Pagina 36
Geometrie Computațională - Pagina 37
Geometrie Computațională - Pagina 38
Geometrie Computațională - Pagina 39
Geometrie Computațională - Pagina 40
Geometrie Computațională - Pagina 41
Geometrie Computațională - Pagina 42
Geometrie Computațională - Pagina 43
Geometrie Computațională - Pagina 44
Geometrie Computațională - Pagina 45
Geometrie Computațională - Pagina 46
Geometrie Computațională - Pagina 47
Geometrie Computațională - Pagina 48
Geometrie Computațională - Pagina 49
Geometrie Computațională - Pagina 50
Geometrie Computațională - Pagina 51
Geometrie Computațională - Pagina 52
Geometrie Computațională - Pagina 53
Geometrie Computațională - Pagina 54
Geometrie Computațională - Pagina 55
Geometrie Computațională - Pagina 56
Geometrie Computațională - Pagina 57
Geometrie Computațională - Pagina 58
Geometrie Computațională - Pagina 59
Geometrie Computațională - Pagina 60
Geometrie Computațională - Pagina 61
Geometrie Computațională - Pagina 62
Geometrie Computațională - Pagina 63
Geometrie Computațională - Pagina 64
Geometrie Computațională - Pagina 65
Geometrie Computațională - Pagina 66
Geometrie Computațională - Pagina 67
Geometrie Computațională - Pagina 68
Geometrie Computațională - Pagina 69
Geometrie Computațională - Pagina 70
Geometrie Computațională - Pagina 71
Geometrie Computațională - Pagina 72
Geometrie Computațională - Pagina 73
Geometrie Computațională - Pagina 74
Geometrie Computațională - Pagina 75
Geometrie Computațională - Pagina 76
Geometrie Computațională - Pagina 77
Geometrie Computațională - Pagina 78
Geometrie Computațională - Pagina 79
Geometrie Computațională - Pagina 80
Geometrie Computațională - Pagina 81
Geometrie Computațională - Pagina 82
Geometrie Computațională - Pagina 83
Geometrie Computațională - Pagina 84
Geometrie Computațională - Pagina 85
Geometrie Computațională - Pagina 86
Geometrie Computațională - Pagina 87
Geometrie Computațională - Pagina 88
Geometrie Computațională - Pagina 89
Geometrie Computațională - Pagina 90

Conținut arhivă zip

  • Gc2.pdf
  • Gc1.pdf
  • Gc_Bib.pdf

Alții au mai descărcat și

Phi și phi - Proportia divină

Despre numãrul de aur (Phi si phi) Sã începem cu o problemã de esteticã. Sã considerãm un segment de dreaptã. Care este cea mai „plãcutã”...

Logica Matematica

Calculul predicatelor: axiomele si regulile de deductie. Form din calc pred se construiesc la fel ca si form din calc prop, insa aici in afara de...

Matematici Aplicate în Economie

Matematica True/False Indicate whether the sentence or statement is true or false. ____ 1. Fie vectorii b1 = (2, 4, 5), b2 = (-1, 1, 0), b3 =...

Toreme Clasice de Geometrie Plana

1.Teorema lui Stewart. Fie M un punct pe latura [BC] a triunghiului ABC. Atunci este adevarata relatia Stewart: Demonstratie: Din triunghiurile...

Geometrie

Ului Axiomatizare lui Euclid Coordonatizarea Decasdes Rerre  Discurs asupra metodei Apendix  La Geometrie 1637 ax + by + c (x-x0)² + (y-y0)²...

Logica Matematica si Computationala

CU1 X-multime nevida P(X)- multime partilor lui X 1) ,) asociativitate 2) ,) comutativitate 3) A A=A,A)A=A idempotenta 4) A (A)B)=A, A)(A...

Subiectele pentru Examenul de Licenta Specialitatea - Informatica si Limbi Moderne Aplicate

ALGEBRA 1. Subgrup normal. Condiţii necesare şi suficiente ca un subgrup să fie normal. Grup factor. Exemple. 2. Morfisme de grupuri. Nucleul şi...

Matematica pentru economisti. Probabilitate

Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...

Ai nevoie de altceva?