Geometrie Computațională

1. Complemente de geometrie si metode de aproximare

1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine.

Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea numerelor întregi, Q - multimea numerelor rationale, R - multimea numerelor reale si C - multimea numerelor complexe. Un spatiu vectorial real (respectiv complex) este o multime V pe care este definita o operatie interna, notata prin simbolul + si o operatie de înmultire cu elemente din R (resp. C) - numite scalari. Notam prin V ansamblul (V, +, . ), când multimea de scalari este fixata. Elementele multimii V se numesc vectori. Adunarea vectorilor este comutativa (i1), asociativa (i2), multimea V contine vectorul zero (i3) si orice vector are asociat un vector opus (i4):

(i1) u + v = v + u, oricare ar fi u, v V.

(i2) (u + v) + w = u + (v + w), oricare ar fi u, v, w V.

(i3) exista vectorul 0 V astfel încât u + 0 = 0 + u = u, oricare ar fi u V.

(i4) Pentru oricare u V exista un unic vector (în multimea V), notat

cu (-u), astfel încât: u + (-u) = 0.

Elementele multimii R (resp. C) se mai numesc scalari, deoarece descriu marimi care nu depind de vreun punct de referinta. Înmultirea cu scalari asociaza fiecarui vector v V si fiecarui scalar m R (resp. C), vectorul (m v) V si este supusa urmatoarelor axiome:

(i5) (m + n) u = m u + n u, oricare ar fi m, n R (resp. C) si u V.

(i6) m (u + v) = m u + m v, oricare ar fi m R (resp. C) si u, v V.

(i7) m (n u) = (m n) u, oricare ar fi m, n R (resp. C) si u V.

(i8) 1 u = u, oricare u V, unde 1 R (resp. C).

Axiomele (i5) si (i6) descriu faptul ca înmultirea vectorilor cu scalari este distribu-tiva fata de adunarea scalarilor, respectiv vectorilor. Axioma (i7) indica un tip de asociativitate cu care are de-a face atât înmultirea vectorilor cu scalari cât si înmultirea scalarilor.

În cadrul geometriei euclidiene, imaginea geometrica a unui vector este un segment de dreapta AB pe care este definit un sens de la A la B. Punctul A se numeste originea vectorului sau punctul sau de aplicatie, iar punctul B este extremitatea vectorului. Vectorul AB, din punct de vedere geometric, este caracterizat prin: originea A, suportul definit de dreapta AB, sensul de parcurs de la A la B si marimea sau modulul vectorului, care este lungimea segmentului AB (notata |AB|). Un vector pentru care aceste elemente sunt fixate se numeste vector legat. În grafica pe calculator, se utilizeaza vectorii alunecatori sau liberi, pentru care punctul de aplicatie nu mai are un rol esential.

Multimea vectorilor de pozitie dintr-un plan, cu originea într-un punct al acestuia este spatiu vectorial peste R în raport cu adunarea vectorilor (dupa regula paralelogramului) si înmultirea vectorilor cu scalari. Considerând multimea R3, a tripletelor de numere reale (x, y, z), se obtine un spatiu vectorial real definind:

u + v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) si

kw = (kx, ky, kz),

unde u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) si w = (x, y, z). Extinderea pentru multimea Rn este imediata.

Multimea matricelor Mmxn(R) - cu m linii, n coloane si elemente din multimea R - este spatiu vectorial real (peste R) în raport cu adunarea matricelor si înmultirea matricelor cu scalari:

A + B = (aij+bij)1didm, 1djdn,

kA = (kaij)1didm, 1djdn.

Multimea polinoamelor de grad cel mult n, în nederminata X se poate organiza ca un spatiu vectorial real daca consideram operatiile: adunarea polinoa-melor si înmultirea unui polinom cu un scalar:

p + q = (pn+qn)Xn+ ... + (p0+q0),

kp = kpnXn + kpn-1Xn-1+ .... + kp0,

unde: p = pnXn+pn-1Xn-1+...+p0, q = qnXn+qn-1Xn-1+...q0, iar k R.

De asemenea, polinoamele de forma:

a0(x2 + y2) + a1x + a2y + a3 = 0, cu a1, a2, a3 R (resp. C)

formeaza un spatiu vectorial, strâns legat de multimea cercurilor din plan.

Fie v1, v2, ..., vn vectori oarecari din spatiul V si n scalari k1, k2, ..., kn. O expresie de forma k1v1 + k2v2 + ... + knvn se numeste combinatie liniara a vectorilor considerati. Elementul rezultat în urma evaluarii expresiei este tot un vector (conform regulilor i1-i7). Multimea S a tuturor combinatiilor liniare ale vectorilor v1, v2, ..., vn se numeste spatiul generat de vectorii v1, v2, ..., vn. Este usor de vazut ca S este un spatiu vectorial peste R (resp. C). Vectorii v1, v2, ..., vn se numesc liniar independenti daca din k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0 (în V) rezulta k1 = k2 = ... = kn = 0 (în R, resp. C). În caz contrar, se afirma liniar dependenta sistemului de vectori v1, v2, ..., vn (peste R, resp. C).

Fie v1, v2, ..., vn o multime de vectori din V, iar S spatiul generat de acestia. Daca cei n vectori sunt liniar independenti, se spune ca ei formeaza o baza a spatiului S de dimensiune n. Deoarece acesti vectori genereaza spatiul S, rezulta ca oricare vector v din S se obtine ca o combinatie liniara a vectorilor v1, v2,, ..., vn. Deci, exista scalarii k1, k2, ..., kn, unic determinati, astfel încât:

v = k1v1+ k2v2 + ... + knvn.

În spatiul Rn, vectorii

e1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e2 = (0, 1, 0, ..., 0),

...,

en = (0, 0, ..., 1)

formeaza o baza a spatiului Rn, numita baza canonica, care permite descrierea unui vector v prin cele n coordonate carteziene: v = (x1, x2, …,xn) = x1e1+x2e2+… +xnen.

Consideram spatiul vectorial tridimensional, suficient de important pentru grafica si proiectarea asistate de calculator. Cele mai importante obiecte cu care se opereaza sunt cele de punct si vector (înteles ca vector liber). Punctul este precizat prin pozitia sa, vectorul are modul si directie, dar nu are o pozitie fixata în spatiu.

Geometric, desenam punctele planului prin “•“, iar vectorii prin segmente de dreapta terminate cu “’“. în general desenam vectorii pornind dintr-un punct,

dar nu trebuie sa uitam ca lucram cu vectori liberi. Notam punctele spatiului prin A, B, C, ..