Extras din curs
II.1 Inegalităţi fundamentale
Definiţia II.1.1: Spunem că segmentul [AB] este mai mic decât segmentul [CD] dacă măsura segmentului [AB] este mai mica decât măsura segmentului [CD] şi scriem [AB]<[CD] dacă AB<CD sau dacă AB<CD (fig. II.1.1) .
Definiţia II.1.2: Spunem că este mai mic decât dacă măsura unghiului este mai mică decât măsura unghiului şi scriem: dacă (fig. II.1.2)
fig.II.1.1
fig.II.1.2
Definiţia II.1.3: Un unghi se numeşte exterior al unui triunghi dacă este adiacent cu unul dintre unghiurile triunghiului şi suplementar cu el.
fig.II.1.3
În fig.II.1.3; (BN şi (BC sunt semidrepte opuse, unghiurile şi sunt adiacente şi suplementare, iar este unghi al triunghiului, deci unghiul este unghi exterior triunghiului ABC.
De asemenea, unghiurile , , , , sunt unghiuri exterioare triunghiului ABC.
Teorema II.1.1: (Teorema unghiului exterior).
Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât oricare dintre unghiurile triunghiului, neadiacent cu acel unghi.
Demonstraţie:
Fie triunghiul ABC (fig.II.1.4). Unghiurile şi sunt exterioare triunghiului ABC, unde . Se va arăta că: .
Fie D mijlocul segmentului (AC) şi
astfel încât .
Punctele E şi M sunt de aceeaşi
parte a dreptei AC, iar E şi D sunt
de aceeaşi parte
a dreptei AM, deci .
Rezultă că: .
Dar
(unghiuri opuse la vârf) şi
rezultă că (cazul L.U.L.)
De aici obţinem şi, fig.II.1.4
ţinând cont că , deducem că adică .
Se va arăta acum că .
Fie P mijlocul segmentului (AB) şi
astfel încât (fig.II.1.5).
Punctele Q şi N sunt de aceeaşi parte
a dreptei AB, iar Q şi P de aceeaşi
parte a dreptei AN. Deci
rezultă că .
Dar şi
ceea ce implică congruenţa
triunghiului APQ cu triunghiul BPC.
fig.II.1.5
De aici rezultă că dar prin urmare avem adică
Cum (opuse la vârf) obţinem . Deci am demonstrat că şi .
Teorema II.1.2:Într-un triunghi cu două laturi necongruente, laturii cu lungimea mai mare i se opune unghiul cu măsura cea mai mare.
Demonstraţie:
Fie triunghiul ABC cu AC>AB (fig.II.1.6).
Se consideră punctul astfel
încât . Atunci triunghiul ABD
este triunghi isoscel şi .
Dar este unghi exterior triunghiului
BDC şi folosind teorema II.1.1 obţinem că
. Rezultă că
iar cum avem şi
deci Prin urmare,
ceea ce implică .
Preview document
Conținut arhivă zip
- Inegalitati Geometrice in Triunghi.doc
Alții au mai descărcat și
INTRODUCERE Geometria prezintă caracterul cel mai concret dintre toate disciplinele matematice. Pornind de la studiul unor figuri prezente în...
INTRODUCERE Această lucrare intitulată ,,Calculul aproximativ al integralelor multiple” este structurată pe patru capitole: Capitolul I...
Data: 1.04.2011 Clasa: a VI-a Profesor: Disciplina: Matematică-geometrie Titlul lecţiei: Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi,...
1.Teorema lui Stewart. Fie M un punct pe latura [BC] a triunghiului ABC. Atunci este adevarata relatia Stewart: Demonstratie: Din triunghiurile...
Chapter 1 Spat¸ii vectoriale 1.1 Spat¸ii vectoriale peste un corp K Fie K un corp comutativ (poate fi corpul numerelor complexe C, cel al...
1. Complemente de geometrie si metode de aproximare 1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine. Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea...
1 No¸tiuni preliminare 1.1 Segmente orientate Vom nota cu E3 spa¸tiul euclidian tridimensional. De…ni¸tia 1.1.1 Vom numi segment orientat un...
NOTIUNI PRELIMINARE §1. Multimi, relatii binare si functii Multimi Prin multime se întelege o colectie de obiecte care vor fi numite elemente....
Te-ar putea interesa și
ÎNTRODUCERE Actualitatea temei de cercetare şi gradul de studiere a acesteia Actualitatea temei de cercetare În anii 90 ai secolului trecut, în...
INTRODUCERE Geometria prezintă caracterul cel mai concret dintre toate disciplinele matematice. Pornind de la studiul unor figuri prezente în...
Funcţii convexe joacă un rol important în aproape toate ramurile matematicii, precum şi alte domenii ale ştiinţei şi ingineriei. Noţiunea de...
1. Notiunea si obiectul dactiloscopiei judiciare Pe suprafata palmelor si a talpilor picioarelor se pot observa niste liniute care au diferite...
Inegalităţi remarcabile şi tehnici cu aplicabilitate largă Se spune că relaţia care guvernează cu adevărat matematica este cea de inegalitate,...
Fractalul.Definitie.Caracteristici Un fractal este o figură geometrică fragmentată sau frântă care poate fi divizată în părți, astfel încât...
Didactica specialitatii l. DOMENIUL COGNITIV, ELEMENT AL PROCESULUI EDUCATIONAL IN TAXONOMIA BLOOM Procesului de invatamant ii este...
Dinamica vietii moderne, transformarile permanente în toate sferele de activitate umana înainteaza exigente sporite în ceea ce priveste...