Cuprins
- Cuprins 1
- Integrala definită 2
- 1. Aria unei suprafeţe plane mărginită de o curbă. 2
- 2. Sumele lui Darboux. 5
- Consecinţe. 7
- Definiţie. 7
- Observaţie 7
- 3. Criteriu de integrabilitate. 8
- Demonstraţie. 8
- Observaţii. 8
- Definiţie. 8
- 4. Clase de funcţii integrabile. 9
- Teoremă. 9
- Demonstraţie. 9
- Teoremă. 9
- Demonstraţie. 9
- Observaţii. 10
- 5. Proprietăţile funcţiilor integrabile. 11
- Observaţie. 11
- Observaţii. 12
- 6. Formule de medie. 15
- Teoremă. 15
- Demonstraţie. 15
Extras din curs
Integrala definită
1. Aria unei suprafeţe plane mărginită de o curbă.
Fie o funcţie continuă, pozitivă şi crescătoare în intervalul . Graficul acestei funcţii este un arc de curbă situat deasupra axei 0x. Ne propunem să calculăm aria trapezului mixtiliniu . În acest scop vom construi un şir de poligoane exterioare şi un şir de poli-goane interioare de o formă anumită, care ne vor duce la rezultat. Să împărţim intervalul prin punctele în n subintervale, iar prin aceste puncte să ducem paralele la axa 0y, paralele care taie arcul în punctele astfel încât trapezul mixtiliniu apare ca o reuniune a n trapeze mixtilinii
Dacă notăm
atunci aria totală A este suma ariilor elementare
A =
Aria a trapezului mixtiliniu este cuprinsă între aria dreptunghiului exterior şi a dreptunghiului interior ; dacă notăm cu şi aceste două arii
urmează că avem neegalităţile
însumând, obţinem
unde
Sumele s şi S se numesc sumele lui Darboux.
Să observăm că S este aria poligonului exterior, obţinut ca reuniunea dreptunghiurilor exterioare , iar s este aria poligonului interior obţinut ca reuniunea dreptunghiuri-lor interioare corespunzătoare diviziunii
Înainte de a merge mai departe, să definim câteva noţiuni.
a) Fie un interval închis şi mărginit. O familie unită de puncte
se numeşte o diviziune a intervalului . Un interval oarecare al diviziunii se numeşte interval parţial sau subinterval.
b) Vom numi norma diviziunii numărul pozitiv
adică lungimea celui mai mare interval parţial al diviziunii d; deci pentru orice avem
c) Vom spune că o diviziune a intervalului este mai fină decât diviziunea d şi se scrie sau dacă toate punctele diviziunii d aparţin diviziunii (care conţine şi alte puncte). Dacă este mai fină decât d, atunci
(1)
Reciproca nu este însă în general adevărată, adică neegalitatea (1) nu atrage incluziunea , deoarece diviziunea poate fi formată din intervale parţiale mai mici decât ale divi-ziunii d, fără ca toate punctele diviziunii d să aparţină diviziunii .
Să considerăm acum un şir de diviziuni ordonate după relaţia de fineţe
prin urmare normele lor formează şirul descrescător
Să cerem ca În aceste condiţii, şirul sumelor s
şi al sumelor S
sunt convergente către o limită comună care este aria trapezului mixtiliniu . Într-adevăr, avem
deci şi
. (2)
Funcţia fiind continuă în intervalul este uniform continuă în , deci pentru orice număr există un număr astfel încât să avem
oricare ar fi , care satisfac neegalitatea
Să considerăm acum numărul N astfel încât pentru toate diviziunile să îndepli-nească condiţia
fapt ce este posibil, deoarece când . Deci pentru două puncte consecutive oa-recare ale unei diviziuni , avem
deoarece deci şi Cu aceste rezultate, neegalitatea (2) se scrie
de unde rezultă imediat că şi au aceeaşi limită, anume aria A a trapezului curbiliniu .
Numărul A se numeşte şi integrala definită a funcţiei în intervalul şi se notează
A=
(se citeşte integrală de la a la b din ). Semnul se numeşte semnul de integrare; a, b se numesc limitele de integrare, a limita inferioară şi b limita superioară. Intervalul se numeşte interval de integrare, iar funcţia de integrat sau integrant.
În continuare ne vom ocupa de convergenţa sumelor şi în condiţii mai largi pentru funcţia .
Preview document
Conținut arhivă zip
- Integrala Definita.doc